Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63497 / 75154
↖ ↑ ↗
← S 25.527572°
W  5.600281°		 ← 275.61 m → S 25.527572°
W  5.597534°		 →
↑
275.55 m
↓
↑
275.55 m
↓
S 25.530050°
W  5.600281°		 ← 275.60 m →
75 942 m²		 S 25.530050°
W  5.597534°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63497 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75154 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484447479248047 y=0.573383331298828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484447479248047 × 217)
    floor (0.484447479248047 × 131072)
    floor (63497.5)     		tx = 63497
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.573383331298828 × 217)
    floor (0.573383331298828 × 131072)
    floor (75154.5)     		ty = 75154
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63497 / 75154 ti = "17/63497/75154"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63497/75154.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63497 ÷ 217
    63497 ÷ 131072     		x = 0.484443664550781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75154 ÷ 217
    75154 ÷ 131072     		y = 0.573379516601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484443664550781 × 2 - 1) × π
    -0.0311126708984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.09774334
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.573379516601562 × 2 - 1) × π
    -0.146759033203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.4610571005457
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09774334} λ = -0.09774334}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.4610571005457))-π/2
    2×atan(0.630616667814121)-π/2
    2×0.562628075646311-π/2
    1.12525615129262-1.57079632675     		φ = -0.44554018
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09774334} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.600281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44554018 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.527572°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63497 KachelY 75154 -0.09774334 -0.44554018 -5.600281 -25.527572
    Oben rechts KachelX + 1 63498 KachelY 75154 -0.09769540 -0.44554018 -5.597534 -25.527572
    Unten links KachelX 63497 KachelY + 1 75155 -0.09774334 -0.44558343 -5.600281 -25.530050
    Unten rechts KachelX + 1 63498 KachelY + 1 75155 -0.09769540 -0.44558343 -5.597534 -25.530050
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44554018--0.44558343) × R
    4.32499999999947e-05 × 6371000     		dl = 275.545749999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44554018--0.44558343) × R
    4.32499999999947e-05 × 6371000     		dr = 275.545749999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09774334--0.09769540) × cos(-0.44554018) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.902378008981279 × 6371000     		do = 275.609471152813m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09774334--0.09769540) × cos(-0.44558343) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.902359369749203 × 6371000     		du = 275.603778251563m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44554018)-sin(-0.44558343))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.902378008981279-0.902359369749203)×R²
    abs(-0.09769540--0.09774334)×1.86392320761231e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.86392320761231e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.86392320761231e-05×40589641000000     		ar = 75942.2341202564m²