Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63495 / 71675
↖ ↑ ↗
← S 16.623033°
W  5.605774°		 ← 292.60 m → S 16.623033°
W  5.603028°		 →
↑
292.68 m
↓
↑
292.68 m
↓
S 16.625665°
W  5.605774°		 ← 292.60 m →
85 639 m²		 S 16.625665°
W  5.603028°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63495 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 71675 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484432220458984 y=0.546840667724609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484432220458984 × 217)
    floor (0.484432220458984 × 131072)
    floor (63495.5)     		tx = 63495
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.546840667724609 × 217)
    floor (0.546840667724609 × 131072)
    floor (71675.5)     		ty = 71675
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63495 / 71675 ti = "17/63495/71675"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63495/71675.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63495 ÷ 217
    63495 ÷ 131072     		x = 0.484428405761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 71675 ÷ 217
    71675 ÷ 131072     		y = 0.546836853027344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484428405761719 × 2 - 1) × π
    -0.0311431884765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.09783921
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.546836853027344 × 2 - 1) × π
    -0.0936737060546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.294284626767525
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09783921} λ = -0.09783921}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.294284626767525))-π/2
    2×atan(0.74506439599007)-π/2
    2×0.640334831587449-π/2
    1.2806696631749-1.57079632675     		φ = -0.29012666
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09783921} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.605774°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.29012666 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -16.623033°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63495 KachelY 71675 -0.09783921 -0.29012666 -5.605774 -16.623033
    Oben rechts KachelX + 1 63496 KachelY 71675 -0.09779128 -0.29012666 -5.603028 -16.623033
    Unten links KachelX 63495 KachelY + 1 71676 -0.09783921 -0.29017260 -5.605774 -16.625665
    Unten rechts KachelX + 1 63496 KachelY + 1 71676 -0.09779128 -0.29017260 -5.603028 -16.625665
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.29012666--0.29017260) × R
    4.59400000000221e-05 × 6371000     		dl = 292.683740000141m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.29012666--0.29017260) × R
    4.59400000000221e-05 × 6371000     		dr = 292.683740000141m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09783921--0.09779128) × cos(-0.29012666) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.958207649117526 × 6371000     		do = 292.600232896065m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09783921--0.09779128) × cos(-0.29017260) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.958194505885482 × 6371000     		du = 292.596219452048m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.29012666)-sin(-0.29017260))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.958207649117526-0.958194505885482)×R²
    abs(-0.09779128--0.09783921)×1.31432320435998e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.31432320435998e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.31432320435998e-05×40589641000000     		ar = 85638.7431690747m²