Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6349 / 6079
↖ ↑ ↗
← S 65.348514°
E 99.008789°		 ← 2 038.14 m → S 65.348514°
E 99.052734°		 →
↑
2 037.45 m
↓
↑
2 037.45 m
↓
S 65.366837°
E 99.008789°		 ← 2 036.72 m →
4 151 163 m²		 S 65.366837°
E 99.052734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6349 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6079 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.77508544921875 y=0.74212646484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.77508544921875 × 213)
    floor (0.77508544921875 × 8192)
    floor (6349.5)     		tx = 6349
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.74212646484375 × 213)
    floor (0.74212646484375 × 8192)
    floor (6079.5)     		ty = 6079
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6349 / 6079 ti = "13/6349/6079"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6349/6079.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6349 ÷ 213
    6349 ÷ 8192     		x = 0.7750244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6079 ÷ 213
    6079 ÷ 8192     		y = 0.7420654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7750244140625 × 2 - 1) × π
    0.550048828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.72802936
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7420654296875 × 2 - 1) × π
    -0.484130859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.52094195114514
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72802936} λ = 1.72802936}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52094195114514))-π/2
    2×atan(0.218505968037848)-π/2
    2×0.215124799925359-π/2
    0.430249599850718-1.57079632675     		φ = -1.14054673
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72802936} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.008789°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14054673 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.348514°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6349 KachelY 6079 1.72802936 -1.14054673 99.008789 -65.348514
    Oben rechts KachelX + 1 6350 KachelY 6079 1.72879635 -1.14054673 99.052734 -65.348514
    Unten links KachelX 6349 KachelY + 1 6080 1.72802936 -1.14086653 99.008789 -65.366837
    Unten rechts KachelX + 1 6350 KachelY + 1 6080 1.72879635 -1.14086653 99.052734 -65.366837
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14054673--1.14086653) × R
    0.000319799999999981 × 6371000     		dl = 2037.44579999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14054673--1.14086653) × R
    0.000319799999999981 × 6371000     		dr = 2037.44579999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72802936-1.72879635) × cos(-1.14054673) × R
    0.000766990000000023 × 0.417097664379419 × 6371000     		do = 2038.14493826477m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72802936-1.72879635) × cos(-1.14086653) × R
    0.000766990000000023 × 0.416806989093035 × 6371000     		du = 2036.72455542828m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14054673)-sin(-1.14086653))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.417097664379419-0.416806989093035)×R²
    abs(1.72879635-1.72802936)×0.000290675286384434×R²
    0.000766990000000023×0.000290675286384434×6371000²
    0.000766990000000023×0.000290675286384434×40589641000000     		ar = 4151162.90311269m²