Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63489 / 75156
↖ ↑ ↗
← S 25.532529°
W  5.622253°		 ← 275.54 m → S 25.532529°
W  5.619507°		 →
↑
275.55 m
↓
↑
275.55 m
↓
S 25.535007°
W  5.622253°		 ← 275.53 m →
75 923 m²		 S 25.535007°
W  5.619507°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63489 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75156 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484386444091797 y=0.573398590087891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484386444091797 × 217)
    floor (0.484386444091797 × 131072)
    floor (63489.5)     		tx = 63489
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.573398590087891 × 217)
    floor (0.573398590087891 × 131072)
    floor (75156.5)     		ty = 75156
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63489 / 75156 ti = "17/63489/75156"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63489/75156.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63489 ÷ 217
    63489 ÷ 131072     		x = 0.484382629394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75156 ÷ 217
    75156 ÷ 131072     		y = 0.573394775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484382629394531 × 2 - 1) × π
    -0.0312347412109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.09812683
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.573394775390625 × 2 - 1) × π
    -0.14678955078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.46115297434494
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09812683} λ = -0.09812683}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.46115297434494))-π/2
    2×atan(0.630556211096467)-π/2
    2×0.562584819335839-π/2
    1.12516963867168-1.57079632675     		φ = -0.44562669
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09812683} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.622253°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44562669 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.532529°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63489 KachelY 75156 -0.09812683 -0.44562669 -5.622253 -25.532529
    Oben rechts KachelX + 1 63490 KachelY 75156 -0.09807890 -0.44562669 -5.619507 -25.532529
    Unten links KachelX 63489 KachelY + 1 75157 -0.09812683 -0.44566994 -5.622253 -25.535007
    Unten rechts KachelX + 1 63490 KachelY + 1 75157 -0.09807890 -0.44566994 -5.619507 -25.535007
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44562669--0.44566994) × R
    4.32499999999947e-05 × 6371000     		dl = 275.545749999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44562669--0.44566994) × R
    4.32499999999947e-05 × 6371000     		dr = 275.545749999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09812683--0.09807890) × cos(-0.44562669) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.902340724518973 × 6371000     		do = 275.540595390793m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09812683--0.09807890) × cos(-0.44566994) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.902322081910702 × 6371000     		du = 275.534902646087m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44562669)-sin(-0.44566994))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.902340724518973-0.902322081910702)×R²
    abs(-0.09807890--0.09812683)×1.86426082706692e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.86426082706692e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.86426082706692e-05×40589641000000     		ar = 75923.2557183731m²