Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 63487 / 75163
↖ ↑ ↗
← S 25.549875°
W  5.627747°		 ← 275.56 m → S 25.549875°
W  5.625000°		 →
↑
275.55 m
↓
↑
275.55 m
↓
S 25.552353°
W  5.627747°		 ← 275.55 m →
75 928 m²		 S 25.552353°
W  5.625000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63487 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75163 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484371185302734 y=0.573451995849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484371185302734 × 217)
    floor (0.484371185302734 × 131072)
    floor (63487.5)     		tx = 63487
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.573451995849609 × 217)
    floor (0.573451995849609 × 131072)
    floor (75163.5)     		ty = 75163
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63487 / 75163 ti = "17/63487/75163"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63487/75163.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63487 ÷ 217
    63487 ÷ 131072     		x = 0.484367370605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75163 ÷ 217
    75163 ÷ 131072     		y = 0.573448181152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484367370605469 × 2 - 1) × π
    -0.0312652587890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.09822271
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.573448181152344 × 2 - 1) × π
    -0.146896362304688 × 3.1415926535     		Φ = -0.461488532642281
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09822271} λ = -0.09822271}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.461488532642281))-π/2
    2×atan(0.63034465822404)-π/2
    2×0.562433436327237-π/2
    1.12486687265447-1.57079632675     		φ = -0.44592945
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09822271} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.627747°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44592945 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.549875°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63487 KachelY 75163 -0.09822271 -0.44592945 -5.627747 -25.549875
    Oben rechts KachelX + 1 63488 KachelY 75163 -0.09817477 -0.44592945 -5.625000 -25.549875
    Unten links KachelX 63487 KachelY + 1 75164 -0.09822271 -0.44597270 -5.627747 -25.552353
    Unten rechts KachelX + 1 63488 KachelY + 1 75164 -0.09817477 -0.44597270 -5.625000 -25.552353
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44592945--0.44597270) × R
    4.32499999999947e-05 × 6371000     		dl = 275.545749999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44592945--0.44597270) × R
    4.32499999999947e-05 × 6371000     		dr = 275.545749999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09822271--0.09817477) × cos(-0.44592945) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.902210186504486 × 6371000     		do = 275.558213848729m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09822271--0.09817477) × cos(-0.44597270) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.902191532081608 × 6371000     		du = 275.552516307818m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44592945)-sin(-0.44597270))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.902210186504486-0.902191532081608)×R²
    abs(-0.09817477--0.09822271)×1.86544228774066e-05×R²
    4.79400000000102e-05×1.86544228774066e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×1.86544228774066e-05×40589641000000     		ar = 75928.1097488432m²