Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6348 / 6020
↖ ↑ ↗
← S 64.244595°
E 98.964844°		 ← 2 123.33 m → S 64.244595°
E 99.008789°		 →
↑
2 122.56 m
↓
↑
2 122.56 m
↓
S 64.263684°
E 98.964844°		 ← 2 121.86 m →
4 505 342 m²		 S 64.263684°
E 99.008789°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6348 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6020 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.77496337890625 y=0.73492431640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.77496337890625 × 213)
    floor (0.77496337890625 × 8192)
    floor (6348.5)     		tx = 6348
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.73492431640625 × 213)
    floor (0.73492431640625 × 8192)
    floor (6020.5)     		ty = 6020
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6348 / 6020 ti = "13/6348/6020"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6348/6020.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6348 ÷ 213
    6348 ÷ 8192     		x = 0.77490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6020 ÷ 213
    6020 ÷ 8192     		y = 0.73486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77490234375 × 2 - 1) × π
    0.5498046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.72726237
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73486328125 × 2 - 1) × π
    -0.4697265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.47568951790381
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72726237} λ = 1.72726237}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47568951790381))-π/2
    2×atan(0.228621034389117)-π/2
    2×0.224758310751209-π/2
    0.449516621502417-1.57079632675     		φ = -1.12127971
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72726237} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.964844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12127971 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.244595°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6348 KachelY 6020 1.72726237 -1.12127971 98.964844 -64.244595
    Oben rechts KachelX + 1 6349 KachelY 6020 1.72802936 -1.12127971 99.008789 -64.244595
    Unten links KachelX 6348 KachelY + 1 6021 1.72726237 -1.12161287 98.964844 -64.263684
    Unten rechts KachelX + 1 6349 KachelY + 1 6021 1.72802936 -1.12161287 99.008789 -64.263684
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12127971--1.12161287) × R
    0.000333160000000055 × 6371000     		dl = 2122.56236000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12127971--1.12161287) × R
    0.000333160000000055 × 6371000     		dr = 2122.56236000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72726237-1.72802936) × cos(-1.12127971) × R
    0.000766990000000023 × 0.434530222304944 × 6371000     		do = 2123.32901559538m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72726237-1.72802936) × cos(-1.12161287) × R
    0.000766990000000023 × 0.434230135224891 × 6371000     		du = 2121.86264209229m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12127971)-sin(-1.12161287))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.434530222304944-0.434230135224891)×R²
    abs(1.72802936-1.72726237)×0.000300087080053302×R²
    0.000766990000000023×0.000300087080053302×6371000²
    0.000766990000000023×0.000300087080053302×40589641000000     		ar = 4505342.05346994m²