Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6347 / 6019
↖ ↑ ↗
← S 64.225493°
E 98.920899°		 ← 2 124.80 m → S 64.225493°
E 98.964844°		 →
↑
2 124.09 m
↓
↑
2 124.09 m
↓
S 64.244595°
E 98.920899°		 ← 2 123.33 m →
4 511 703 m²		 S 64.244595°
E 98.964844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6347 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6019 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.77484130859375 y=0.73480224609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.77484130859375 × 213)
    floor (0.77484130859375 × 8192)
    floor (6347.5)     		tx = 6347
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.73480224609375 × 213)
    floor (0.73480224609375 × 8192)
    floor (6019.5)     		ty = 6019
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6347 / 6019 ti = "13/6347/6019"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6347/6019.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6347 ÷ 213
    6347 ÷ 8192     		x = 0.7747802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6019 ÷ 213
    6019 ÷ 8192     		y = 0.7347412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7747802734375 × 2 - 1) × π
    0.549560546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.72649538
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7347412109375 × 2 - 1) × π
    -0.469482421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.47492252750989
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72649538} λ = 1.72649538}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47492252750989))-π/2
    2×atan(0.228796451789473)-π/2
    2×0.224925008573356-π/2
    0.449850017146713-1.57079632675     		φ = -1.12094631
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72649538} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.920899°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12094631 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.225493°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6347 KachelY 6019 1.72649538 -1.12094631 98.920899 -64.225493
    Oben rechts KachelX + 1 6348 KachelY 6019 1.72726237 -1.12094631 98.964844 -64.225493
    Unten links KachelX 6347 KachelY + 1 6020 1.72649538 -1.12127971 98.920899 -64.244595
    Unten rechts KachelX + 1 6348 KachelY + 1 6020 1.72726237 -1.12127971 98.964844 -64.244595
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12094631--1.12127971) × R
    0.00033340000000015 × 6371000     		dl = 2124.09140000096m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12094631--1.12127971) × R
    0.00033340000000015 × 6371000     		dr = 2124.09140000096m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72649538-1.72726237) × cos(-1.12094631) × R
    0.000766990000000023 × 0.434830477277033 × 6371000     		do = 2124.79620950178m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72649538-1.72726237) × cos(-1.12127971) × R
    0.000766990000000023 × 0.434530222304944 × 6371000     		du = 2123.32901559538m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12094631)-sin(-1.12127971))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.434830477277033-0.434530222304944)×R²
    abs(1.72726237-1.72649538)×0.000300254972088965×R²
    0.000766990000000023×0.000300254972088965×6371000²
    0.000766990000000023×0.000300254972088965×40589641000000     		ar = 4511703.17017281m²