Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63468 / 75180
↖ ↑ ↗
← S 25.591994°
W  5.679932°		 ← 275.46 m → S 25.591994°
W  5.677185°		 →
↑
275.42 m
↓
↑
275.42 m
↓
S 25.594471°
W  5.679932°		 ← 275.46 m →
75 866 m²		 S 25.594471°
W  5.677185°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63468 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75180 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484226226806641 y=0.573581695556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484226226806641 × 217)
    floor (0.484226226806641 × 131072)
    floor (63468.5)     		tx = 63468
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.573581695556641 × 217)
    floor (0.573581695556641 × 131072)
    floor (75180.5)     		ty = 75180
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63468 / 75180 ti = "17/63468/75180"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63468/75180.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63468 ÷ 217
    63468 ÷ 131072     		x = 0.484222412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75180 ÷ 217
    75180 ÷ 131072     		y = 0.573577880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484222412109375 × 2 - 1) × π
    -0.03155517578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.09913351
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.573577880859375 × 2 - 1) × π
    -0.14715576171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.462303459935822
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09913351} λ = -0.09913351}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.462303459935822))-π/2
    2×atan(0.629831182408861)-π/2
    2×0.562065883105071-π/2
    1.12413176621014-1.57079632675     		φ = -0.44666456
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09913351} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.679932°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44666456 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.591994°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63468 KachelY 75180 -0.09913351 -0.44666456 -5.679932 -25.591994
    Oben rechts KachelX + 1 63469 KachelY 75180 -0.09908557 -0.44666456 -5.677185 -25.591994
    Unten links KachelX 63468 KachelY + 1 75181 -0.09913351 -0.44670779 -5.679932 -25.594471
    Unten rechts KachelX + 1 63469 KachelY + 1 75181 -0.09908557 -0.44670779 -5.677185 -25.594471
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44666456--0.44670779) × R
    4.32300000000052e-05 × 6371000     		dl = 275.418330000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44666456--0.44670779) × R
    4.32300000000052e-05 × 6371000     		dr = 275.418330000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09913351--0.09908557) × cos(-0.44666456) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.901892892299312 × 6371000     		do = 275.461304031236m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09913351--0.09908557) × cos(-0.44670779) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.901874217837322 × 6371000     		du = 275.455600369864m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44666456)-sin(-0.44670779))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.901892892299312-0.901874217837322)×R²
    abs(-0.09908557--0.09913351)×1.8674461989665e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.8674461989665e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.8674461989665e-05×40589641000000     		ar = 75866.3069012838m²