Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63464 / 75111
↖ ↑ ↗
← S 25.420951°
W  5.690918°		 ← 275.85 m → S 25.420951°
W  5.688171°		 →
↑
275.86 m
↓
↑
275.86 m
↓
S 25.423432°
W  5.690918°		 ← 275.85 m →
76 097 m²		 S 25.423432°
W  5.688171°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63464 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75111 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484195709228516 y=0.573055267333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484195709228516 × 217)
    floor (0.484195709228516 × 131072)
    floor (63464.5)     		tx = 63464
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.573055267333984 × 217)
    floor (0.573055267333984 × 131072)
    floor (75111.5)     		ty = 75111
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63464 / 75111 ti = "17/63464/75111"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63464/75111.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63464 ÷ 217
    63464 ÷ 131072     		x = 0.48419189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75111 ÷ 217
    75111 ÷ 131072     		y = 0.573051452636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48419189453125 × 2 - 1) × π
    -0.0316162109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.09932526
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.573051452636719 × 2 - 1) × π
    -0.146102905273438 × 3.1415926535     		Φ = -0.458995813862038
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09932526} λ = -0.09932526}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.458995813862038))-π/2
    2×atan(0.631917890189428)-π/2
    2×0.563558518194232-π/2
    1.12711703638846-1.57079632675     		φ = -0.44367929
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09932526} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.690918°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44367929 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.420951°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63464 KachelY 75111 -0.09932526 -0.44367929 -5.690918 -25.420951
    Oben rechts KachelX + 1 63465 KachelY 75111 -0.09927732 -0.44367929 -5.688171 -25.420951
    Unten links KachelX 63464 KachelY + 1 75112 -0.09932526 -0.44372259 -5.690918 -25.423432
    Unten rechts KachelX + 1 63465 KachelY + 1 75112 -0.09927732 -0.44372259 -5.688171 -25.423432
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44367929--0.44372259) × R
    4.32999999999684e-05 × 6371000     		dl = 275.864299999798m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44367929--0.44372259) × R
    4.32999999999684e-05 × 6371000     		dr = 275.864299999798m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09932526--0.09927732) × cos(-0.44367929) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.9031783880575 × 6371000     		do = 275.853927524448m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09932526--0.09927732) × cos(-0.44372259) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.903159800018213 × 6371000     		du = 275.848250258794m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44367929)-sin(-0.44372259))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9031783880575-0.903159800018213)×R²
    abs(-0.09927732--0.09932526)×1.85880392865601e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.85880392865601e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.85880392865601e-05×40589641000000     		ar = 76097.4675531417m²