Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63459 / 76905
↖ ↑ ↗
← S 29.785833°
W  5.704651°		 ← 265.08 m → S 29.785833°
W  5.701904°		 →
↑
265.03 m
↓
↑
265.03 m
↓
S 29.788217°
W  5.704651°		 ← 265.07 m →
70 253 m²		 S 29.788217°
W  5.701904°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63459 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76905 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484157562255859 y=0.586742401123047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484157562255859 × 217)
    floor (0.484157562255859 × 131072)
    floor (63459.5)     		tx = 63459
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586742401123047 × 217)
    floor (0.586742401123047 × 131072)
    floor (76905.5)     		ty = 76905
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63459 / 76905 ti = "17/63459/76905"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63459/76905.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63459 ÷ 217
    63459 ÷ 131072     		x = 0.484153747558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76905 ÷ 217
    76905 ÷ 131072     		y = 0.586738586425781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484153747558594 × 2 - 1) × π
    -0.0316925048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.09956494
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.586738586425781 × 2 - 1) × π
    -0.173477172851562 × 3.1415926535     		Φ = -0.544994611780418
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09956494} λ = -0.09956494}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.544994611780418))-π/2
    2×atan(0.579844907663115)-π/2
    2×0.525467733407782-π/2
    1.05093546681556-1.57079632675     		φ = -0.51986086
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09956494} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.704651°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51986086 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.785833°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63459 KachelY 76905 -0.09956494 -0.51986086 -5.704651 -29.785833
    Oben rechts KachelX + 1 63460 KachelY 76905 -0.09951700 -0.51986086 -5.701904 -29.785833
    Unten links KachelX 63459 KachelY + 1 76906 -0.09956494 -0.51990246 -5.704651 -29.788217
    Unten rechts KachelX + 1 63460 KachelY + 1 76906 -0.09951700 -0.51990246 -5.701904 -29.788217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51986086--0.51990246) × R
    4.1599999999975e-05 × 6371000     		dl = 265.033599999841m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51986086--0.51990246) × R
    4.1599999999975e-05 × 6371000     		dr = 265.033599999841m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09956494--0.09951700) × cos(-0.51986086) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.867888307179343 × 6371000     		do = 265.075428457655m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09956494--0.09951700) × cos(-0.51990246) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.86786764123798 × 6371000     		du = 265.069116547221m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51986086)-sin(-0.51990246))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.867888307179343-0.86786764123798)×R²
    abs(-0.09951700--0.09956494)×2.06659413628518e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.06659413628518e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.06659413628518e-05×40589641000000     		ar = 70253.0586515623m²