Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63459 / 71652
↖ ↑ ↗
← S 16.562493°
W  5.704651°		 ← 292.75 m → S 16.562493°
W  5.701904°		 →
↑
292.68 m
↓
↑
292.68 m
↓
S 16.565125°
W  5.704651°		 ← 292.75 m →
85 684 m²		 S 16.565125°
W  5.701904°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63459 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 71652 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484157562255859 y=0.546665191650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484157562255859 × 217)
    floor (0.484157562255859 × 131072)
    floor (63459.5)     		tx = 63459
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.546665191650391 × 217)
    floor (0.546665191650391 × 131072)
    floor (71652.5)     		ty = 71652
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63459 / 71652 ti = "17/63459/71652"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63459/71652.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63459 ÷ 217
    63459 ÷ 131072     		x = 0.484153747558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 71652 ÷ 217
    71652 ÷ 131072     		y = 0.546661376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484153747558594 × 2 - 1) × π
    -0.0316925048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.09956494
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.546661376953125 × 2 - 1) × π
    -0.09332275390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.293182078076263
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09956494} λ = -0.09956494}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.293182078076263))-π/2
    2×atan(0.745886318786465)-π/2
    2×0.640863150097446-π/2
    1.28172630019489-1.57079632675     		φ = -0.28907003
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09956494} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.704651°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.28907003 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -16.562493°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63459 KachelY 71652 -0.09956494 -0.28907003 -5.704651 -16.562493
    Oben rechts KachelX + 1 63460 KachelY 71652 -0.09951700 -0.28907003 -5.701904 -16.562493
    Unten links KachelX 63459 KachelY + 1 71653 -0.09956494 -0.28911597 -5.704651 -16.565125
    Unten rechts KachelX + 1 63460 KachelY + 1 71653 -0.09951700 -0.28911597 -5.701904 -16.565125
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.28907003--0.28911597) × R
    4.59400000000221e-05 × 6371000     		dl = 292.683740000141m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.28907003--0.28911597) × R
    4.59400000000221e-05 × 6371000     		dr = 292.683740000141m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09956494--0.09951700) × cos(-0.28907003) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.958509388099347 × 6371000     		do = 292.753439157253m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09956494--0.09951700) × cos(-0.28911597) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.958496291387229 × 6371000     		du = 292.749439084262m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.28907003)-sin(-0.28911597))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.958509388099347-0.958496291387229)×R²
    abs(-0.09951700--0.09956494)×1.30967121189096e-05×R²
    4.79400000000102e-05×1.30967121189096e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×1.30967121189096e-05×40589641000000     		ar = 85683.5861073456m²