Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63458 / 71654
↖ ↑ ↗
← S 16.567758°
W  5.707398°		 ← 292.75 m → S 16.567758°
W  5.704651°		 →
↑
292.75 m
↓
↑
292.75 m
↓
S 16.570390°
W  5.707398°		 ← 292.74 m →
85 700 m²		 S 16.570390°
W  5.704651°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63458 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 71654 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484149932861328 y=0.546680450439453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484149932861328 × 217)
    floor (0.484149932861328 × 131072)
    floor (63458.5)     		tx = 63458
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.546680450439453 × 217)
    floor (0.546680450439453 × 131072)
    floor (71654.5)     		ty = 71654
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63458 / 71654 ti = "17/63458/71654"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63458/71654.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63458 ÷ 217
    63458 ÷ 131072     		x = 0.484146118164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 71654 ÷ 217
    71654 ÷ 131072     		y = 0.546676635742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484146118164062 × 2 - 1) × π
    -0.031707763671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.09961288
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.546676635742188 × 2 - 1) × π
    -0.093353271484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.293277951875504
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09961288} λ = -0.09961288}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.293277951875504))-π/2
    2×atan(0.745814811259185)-π/2
    2×0.640817202757013-π/2
    1.28163440551403-1.57079632675     		φ = -0.28916192
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09961288} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.707398°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.28916192 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -16.567758°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63458 KachelY 71654 -0.09961288 -0.28916192 -5.707398 -16.567758
    Oben rechts KachelX + 1 63459 KachelY 71654 -0.09956494 -0.28916192 -5.704651 -16.567758
    Unten links KachelX 63458 KachelY + 1 71655 -0.09961288 -0.28920787 -5.707398 -16.570390
    Unten rechts KachelX + 1 63459 KachelY + 1 71655 -0.09956494 -0.28920787 -5.704651 -16.570390
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.28916192--0.28920787) × R
    4.59499999999613e-05 × 6371000     		dl = 292.747449999753m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.28916192--0.28920787) × R
    4.59499999999613e-05 × 6371000     		dr = 292.747449999753m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09961288--0.09956494) × cos(-0.28916192) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.958483189800729 × 6371000     		do = 292.745437522426m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09961288--0.09956494) × cos(-0.28920787) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.958470086190485 × 6371000     		du = 292.74143534257m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.28916192)-sin(-0.28920787))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.958483189800729-0.958470086190485)×R²
    abs(-0.09956494--0.09961288)×1.31036102436477e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.31036102436477e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.31036102436477e-05×40589641000000     		ar = 85699.8945348006m²