Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63457 / 71653
↖ ↑ ↗
← S 16.565125°
W  5.710144°		 ← 292.69 m → S 16.565125°
W  5.707398°		 →
↑
292.75 m
↓
↑
292.75 m
↓
S 16.567758°
W  5.710144°		 ← 292.68 m →
85 683 m²		 S 16.567758°
W  5.707398°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63457 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 71653 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484142303466797 y=0.546672821044922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484142303466797 × 217)
    floor (0.484142303466797 × 131072)
    floor (63457.5)     		tx = 63457
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.546672821044922 × 217)
    floor (0.546672821044922 × 131072)
    floor (71653.5)     		ty = 71653
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63457 / 71653 ti = "17/63457/71653"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63457/71653.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63457 ÷ 217
    63457 ÷ 131072     		x = 0.484138488769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 71653 ÷ 217
    71653 ÷ 131072     		y = 0.546669006347656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484138488769531 × 2 - 1) × π
    -0.0317230224609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.09966081
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.546669006347656 × 2 - 1) × π
    -0.0933380126953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.293230014975883
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09966081} λ = -0.09966081}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.293230014975883))-π/2
    2×atan(0.745850564165863)-π/2
    2×0.640840176270238-π/2
    1.28168035254048-1.57079632675     		φ = -0.28911597
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09966081} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.710144°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.28911597 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -16.565125°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63457 KachelY 71653 -0.09966081 -0.28911597 -5.710144 -16.565125
    Oben rechts KachelX + 1 63458 KachelY 71653 -0.09961288 -0.28911597 -5.707398 -16.565125
    Unten links KachelX 63457 KachelY + 1 71654 -0.09966081 -0.28916192 -5.710144 -16.567758
    Unten rechts KachelX + 1 63458 KachelY + 1 71654 -0.09961288 -0.28916192 -5.707398 -16.567758
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.28911597--0.28916192) × R
    4.59500000000168e-05 × 6371000     		dl = 292.747450000107m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.28911597--0.28916192) × R
    4.59500000000168e-05 × 6371000     		dr = 292.747450000107m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09966081--0.09961288) × cos(-0.28911597) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.958496291387229 × 6371000     		do = 292.688373285485m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09966081--0.09961288) × cos(-0.28916192) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.958483189800729 × 6371000     		du = 292.684372558435m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.28911597)-sin(-0.28916192))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.958496291387229-0.958483189800729)×R²
    abs(-0.09961288--0.09966081)×1.31015864999195e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.31015864999195e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.31015864999195e-05×40589641000000     		ar = 85683.1893378217m²