Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63457 / 30304
↖ ↑ ↗
← N 69.068563°
W  5.710144°		 ← 109.09 m → N 69.068563°
W  5.707398°		 →
↑
109.14 m
↓
↑
109.14 m
↓
N 69.067582°
W  5.710144°		 ← 109.10 m →
11 906 m²		 N 69.067582°
W  5.707398°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63457 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30304 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484142303466797 y=0.231204986572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484142303466797 × 217)
    floor (0.484142303466797 × 131072)
    floor (63457.5)     		tx = 63457
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.231204986572266 × 217)
    floor (0.231204986572266 × 131072)
    floor (30304.5)     		ty = 30304
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63457 / 30304 ti = "17/63457/30304"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63457/30304.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63457 ÷ 217
    63457 ÷ 131072     		x = 0.484138488769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30304 ÷ 217
    30304 ÷ 131072     		y = 0.231201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484138488769531 × 2 - 1) × π
    -0.0317230224609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.09966081
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.231201171875 × 2 - 1) × π
    0.53759765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.68891284741382
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09966081} λ = -0.09966081}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68891284741382))-π/2
    2×atan(5.41359210415073)-π/2
    2×1.38813508200593-π/2
    2.77627016401186-1.57079632675     		φ = 1.20547384
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09966081} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.710144°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20547384 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.068563°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63457 KachelY 30304 -0.09966081 1.20547384 -5.710144 69.068563
    Oben rechts KachelX + 1 63458 KachelY 30304 -0.09961288 1.20547384 -5.707398 69.068563
    Unten links KachelX 63457 KachelY + 1 30305 -0.09966081 1.20545671 -5.710144 69.067582
    Unten rechts KachelX + 1 63458 KachelY + 1 30305 -0.09961288 1.20545671 -5.707398 69.067582
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20547384-1.20545671) × R
    1.71300000000318e-05 × 6371000     		dl = 109.135230000203m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20547384-1.20545671) × R
    1.71300000000318e-05 × 6371000     		dr = 109.135230000203m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09966081--0.09961288) × cos(1.20547384) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.357250518488506 × 6371000     		do = 109.090743544206m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09966081--0.09961288) × cos(1.20545671) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.357266518003428 × 6371000     		du = 109.095629188562m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20547384)-sin(1.20545671))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.357250518488506-0.357266518003428)×R²
    abs(-0.09961288--0.09966081)×1.59995149218717e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.59995149218717e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.59995149218717e-05×40589641000000     		ar = 11905.9099858041m²