Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 63454 / 42785
↖ ↑ ↗
← S 48.111099°
E168.563232°		 ← 407.86 m → S 48.111099°
E168.568726°		 →
↑
407.87 m
↓
↑
407.87 m
↓
S 48.114767°
E168.563232°		 ← 407.83 m →
166 348 m²		 S 48.114767°
E168.568726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63454 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42785 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.968238830566406 y=0.652854919433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.968238830566406 × 216)
    floor (0.968238830566406 × 65536)
    floor (63454.5)     		tx = 63454
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652854919433594 × 216)
    floor (0.652854919433594 × 65536)
    floor (42785.5)     		ty = 42785
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 63454 / 42785 ti = "16/63454/42785"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/63454/42785.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63454 ÷ 216
    63454 ÷ 65536     		x = 0.968231201171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42785 ÷ 216
    42785 ÷ 65536     		y = 0.652847290039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.968231201171875 × 2 - 1) × π
    0.93646240234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.94198340
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.652847290039062 × 2 - 1) × π
    -0.305694580078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.960367846988205
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.94198340} λ = 2.94198340}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.960367846988205))-π/2
    2×atan(0.382752065881912)-π/2
    2×0.365549620896774-π/2
    0.731099241793547-1.57079632675     		φ = -0.83969708
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.94198340} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 168.563232°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83969708 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.111099°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63454 KachelY 42785 2.94198340 -0.83969708 168.563232 -48.111099
    Oben rechts KachelX + 1 63455 KachelY 42785 2.94207928 -0.83969708 168.568726 -48.111099
    Unten links KachelX 63454 KachelY + 1 42786 2.94198340 -0.83976110 168.563232 -48.114767
    Unten rechts KachelX + 1 63455 KachelY + 1 42786 2.94207928 -0.83976110 168.568726 -48.114767
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83969708--0.83976110) × R
    6.40200000000535e-05 × 6371000     		dl = 407.871420000341m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83969708--0.83976110) × R
    6.40200000000535e-05 × 6371000     		dr = 407.871420000341m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.94198340-2.94207928) × cos(-0.83969708) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.66768836250839 × 6371000     		do = 407.858424418648m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.94198340-2.94207928) × cos(-0.83976110) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.667640702033854 × 6371000     		du = 407.82931094724m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83969708)-sin(-0.83976110))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.66768836250839-0.667640702033854)×R²
    abs(2.94207928-2.94198340)×4.7660474536082e-05×R²
    9.58800000003812e-05×4.7660474536082e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×4.7660474536082e-05×40589641000000     		ar = 166347.857507222m²