Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63453 / 71657
↖ ↑ ↗
← S 16.575655°
W  5.721130°		 ← 292.67 m → S 16.575655°
W  5.718384°		 →
↑
292.68 m
↓
↑
292.68 m
↓
S 16.578287°
W  5.721130°		 ← 292.67 m →
85 660 m²		 S 16.578287°
W  5.718384°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63453 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 71657 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484111785888672 y=0.546703338623047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484111785888672 × 217)
    floor (0.484111785888672 × 131072)
    floor (63453.5)     		tx = 63453
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.546703338623047 × 217)
    floor (0.546703338623047 × 131072)
    floor (71657.5)     		ty = 71657
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63453 / 71657 ti = "17/63453/71657"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63453/71657.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63453 ÷ 217
    63453 ÷ 131072     		x = 0.484107971191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 71657 ÷ 217
    71657 ÷ 131072     		y = 0.546699523925781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484107971191406 × 2 - 1) × π
    -0.0317840576171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.09985256
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.546699523925781 × 2 - 1) × π
    -0.0933990478515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.293421762574364
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09985256} λ = -0.09985256}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.293421762574364))-π/2
    2×atan(0.745707562821879)-π/2
    2×0.640748284101672-π/2
    1.28149656820334-1.57079632675     		φ = -0.28929976
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09985256} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.721130°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.28929976 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -16.575655°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63453 KachelY 71657 -0.09985256 -0.28929976 -5.721130 -16.575655
    Oben rechts KachelX + 1 63454 KachelY 71657 -0.09980463 -0.28929976 -5.718384 -16.575655
    Unten links KachelX 63453 KachelY + 1 71658 -0.09985256 -0.28934570 -5.721130 -16.578287
    Unten rechts KachelX + 1 63454 KachelY + 1 71658 -0.09980463 -0.28934570 -5.718384 -16.578287
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.28929976--0.28934570) × R
    4.59399999999666e-05 × 6371000     		dl = 292.683739999787m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.28929976--0.28934570) × R
    4.59399999999666e-05 × 6371000     		dr = 292.683739999787m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09985256--0.09980463) × cos(-0.28929976) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.958443875751688 × 6371000     		do = 292.672367540613m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09985256--0.09980463) × cos(-0.28934570) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.958430768924072 × 6371000     		du = 292.668365213125m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.28929976)-sin(-0.28934570))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.958443875751688-0.958430768924072)×R²
    abs(-0.09980463--0.09985256)×1.31068276167934e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.31068276167934e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.31068276167934e-05×40589641000000     		ar = 85659.8574333969m²