Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63452 / 71658
↖ ↑ ↗
← S 16.578287°
W  5.723877°		 ← 292.73 m → S 16.578287°
W  5.721130°		 →
↑
292.75 m
↓
↑
292.75 m
↓
S 16.580920°
W  5.723877°		 ← 292.73 m →
85 695 m²		 S 16.580920°
W  5.721130°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63452 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 71658 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484104156494141 y=0.546710968017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484104156494141 × 217)
    floor (0.484104156494141 × 131072)
    floor (63452.5)     		tx = 63452
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.546710968017578 × 217)
    floor (0.546710968017578 × 131072)
    floor (71658.5)     		ty = 71658
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63452 / 71658 ti = "17/63452/71658"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63452/71658.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63452 ÷ 217
    63452 ÷ 131072     		x = 0.484100341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 71658 ÷ 217
    71658 ÷ 131072     		y = 0.546707153320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484100341796875 × 2 - 1) × π
    -0.03179931640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.09990050
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.546707153320312 × 2 - 1) × π
    -0.093414306640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.293469699473984
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09990050} λ = -0.09990050}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.293469699473984))-π/2
    2×atan(0.745671816770079)-π/2
    2×0.640725311844817-π/2
    1.28145062368963-1.57079632675     		φ = -0.28934570
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09990050} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.723877°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.28934570 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -16.578287°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63452 KachelY 71658 -0.09990050 -0.28934570 -5.723877 -16.578287
    Oben rechts KachelX + 1 63453 KachelY 71658 -0.09985256 -0.28934570 -5.721130 -16.578287
    Unten links KachelX 63452 KachelY + 1 71659 -0.09990050 -0.28939165 -5.723877 -16.580920
    Unten rechts KachelX + 1 63453 KachelY + 1 71659 -0.09985256 -0.28939165 -5.721130 -16.580920
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.28934570--0.28939165) × R
    4.59500000000168e-05 × 6371000     		dl = 292.747450000107m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.28934570--0.28939165) × R
    4.59500000000168e-05 × 6371000     		dr = 292.747450000107m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09990050--0.09985256) × cos(-0.28934570) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.958430768924072 × 6371000     		do = 292.729426837381m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09990050--0.09985256) × cos(-0.28939165) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.95841765722001 × 6371000     		du = 292.725422185466m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.28934570)-sin(-0.28939165))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.958430768924072-0.95841765722001)×R²
    abs(-0.09985256--0.09990050)×1.31117040613749e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.31117040613749e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.31117040613749e-05×40589641000000     		ar = 85695.2070858676m²