Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 63451 / 42783
↖ ↑ ↗
← S 48.103763°
E168.546753°		 ← 407.92 m → S 48.103763°
E168.552246°		 →
↑
407.87 m
↓
↑
407.87 m
↓
S 48.107431°
E168.546753°		 ← 407.89 m →
166 372 m²		 S 48.107431°
E168.552246°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63451 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42783 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.968193054199219 y=0.652824401855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.968193054199219 × 216)
    floor (0.968193054199219 × 65536)
    floor (63451.5)     		tx = 63451
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652824401855469 × 216)
    floor (0.652824401855469 × 65536)
    floor (42783.5)     		ty = 42783
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 63451 / 42783 ti = "16/63451/42783"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/63451/42783.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63451 ÷ 216
    63451 ÷ 65536     		x = 0.968185424804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42783 ÷ 216
    42783 ÷ 65536     		y = 0.652816772460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.968185424804688 × 2 - 1) × π
    0.936370849609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.94169578
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.652816772460938 × 2 - 1) × π
    -0.305633544921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.960176099389725
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.94169578} λ = 2.94169578}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.960176099389725))-π/2
    2×atan(0.382825464708158)-π/2
    2×0.3656136392853-π/2
    0.731227278570599-1.57079632675     		φ = -0.83956905
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.94169578} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 168.546753°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83956905 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.103763°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63451 KachelY 42783 2.94169578 -0.83956905 168.546753 -48.103763
    Oben rechts KachelX + 1 63452 KachelY 42783 2.94179166 -0.83956905 168.552246 -48.103763
    Unten links KachelX 63451 KachelY + 1 42784 2.94169578 -0.83963307 168.546753 -48.107431
    Unten rechts KachelX + 1 63452 KachelY + 1 42784 2.94179166 -0.83963307 168.552246 -48.107431
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83956905--0.83963307) × R
    6.40199999999425e-05 × 6371000     		dl = 407.871419999633m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83956905--0.83963307) × R
    6.40199999999425e-05 × 6371000     		dr = 407.871419999633m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.94169578-2.94179166) × cos(-0.83956905) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.66778366780403 × 6371000     		do = 407.916641797652m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.94169578-2.94179166) × cos(-0.83963307) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.667736012802383 × 6371000     		du = 407.887531669367m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83956905)-sin(-0.83963307))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.66778366780403-0.667736012802383)×R²
    abs(2.94179166-2.94169578)×4.7655001646052e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.7655001646052e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.7655001646052e-05×40589641000000     		ar = 166371.603393596m²