Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63449 / 71661
↖ ↑ ↗
← S 16.586185°
W  5.732117°		 ← 292.72 m → S 16.586185°
W  5.729370°		 →
↑
292.68 m
↓
↑
292.68 m
↓
S 16.588817°
W  5.732117°		 ← 292.71 m →
85 673 m²		 S 16.588817°
W  5.729370°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63449 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 71661 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484081268310547 y=0.546733856201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484081268310547 × 217)
    floor (0.484081268310547 × 131072)
    floor (63449.5)     		tx = 63449
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.546733856201172 × 217)
    floor (0.546733856201172 × 131072)
    floor (71661.5)     		ty = 71661
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63449 / 71661 ti = "17/63449/71661"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63449/71661.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63449 ÷ 217
    63449 ÷ 131072     		x = 0.484077453613281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 71661 ÷ 217
    71661 ÷ 131072     		y = 0.546730041503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484077453613281 × 2 - 1) × π
    -0.0318450927734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.10004431
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.546730041503906 × 2 - 1) × π
    -0.0934600830078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.293613510172844
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10004431} λ = -0.10004431}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.293613510172844))-π/2
    2×atan(0.745564588895431)-π/2
    2×0.640656396959651-π/2
    1.2813127939193-1.57079632675     		φ = -0.28948353
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10004431} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.732117°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.28948353 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -16.586185°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63449 KachelY 71661 -0.10004431 -0.28948353 -5.732117 -16.586185
    Oben rechts KachelX + 1 63450 KachelY 71661 -0.09999637 -0.28948353 -5.729370 -16.586185
    Unten links KachelX 63449 KachelY + 1 71662 -0.10004431 -0.28952947 -5.732117 -16.588817
    Unten rechts KachelX + 1 63450 KachelY + 1 71662 -0.09999637 -0.28952947 -5.729370 -16.588817
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.28948353--0.28952947) × R
    4.59400000000221e-05 × 6371000     		dl = 292.683740000141m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.28948353--0.28952947) × R
    4.59400000000221e-05 × 6371000     		dr = 292.683740000141m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10004431--0.09999637) × cos(-0.28948353) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.958391433450244 × 6371000     		do = 292.717412771179m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10004431--0.09999637) × cos(-0.28952947) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.958378318531344 × 6371000     		du = 292.713407137369m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.28948353)-sin(-0.28952947))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.958391433450244-0.958378318531344)×R²
    abs(-0.09999637--0.10004431)×1.31149189007695e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.31149189007695e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.31149189007695e-05×40589641000000     		ar = 85673.0409561938m²