Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63447 / 71662
↖ ↑ ↗
← S 16.588817°
W  5.737610°		 ← 292.65 m → S 16.588817°
W  5.734863°		 →
↑
292.75 m
↓
↑
292.75 m
↓
S 16.591449°
W  5.737610°		 ← 292.65 m →
85 673 m²		 S 16.591449°
W  5.734863°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63447 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 71662 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484066009521484 y=0.546741485595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484066009521484 × 217)
    floor (0.484066009521484 × 131072)
    floor (63447.5)     		tx = 63447
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.546741485595703 × 217)
    floor (0.546741485595703 × 131072)
    floor (71662.5)     		ty = 71662
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63447 / 71662 ti = "17/63447/71662"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63447/71662.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63447 ÷ 217
    63447 ÷ 131072     		x = 0.484062194824219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 71662 ÷ 217
    71662 ÷ 131072     		y = 0.546737670898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484062194824219 × 2 - 1) × π
    -0.0318756103515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.10014018
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.546737670898438 × 2 - 1) × π
    -0.093475341796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.293661447072464
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10014018} λ = -0.10014018}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.293661447072464))-π/2
    2×atan(0.745528849697193)-π/2
    2×0.640633425959875-π/2
    1.28126685191975-1.57079632675     		φ = -0.28952947
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10014018} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.737610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.28952947 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -16.588817°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63447 KachelY 71662 -0.10014018 -0.28952947 -5.737610 -16.588817
    Oben rechts KachelX + 1 63448 KachelY 71662 -0.10009225 -0.28952947 -5.734863 -16.588817
    Unten links KachelX 63447 KachelY + 1 71663 -0.10014018 -0.28957542 -5.737610 -16.591449
    Unten rechts KachelX + 1 63448 KachelY + 1 71663 -0.10009225 -0.28957542 -5.734863 -16.591449
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.28952947--0.28957542) × R
    4.59499999999613e-05 × 6371000     		dl = 292.747449999753m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.28952947--0.28957542) × R
    4.59499999999613e-05 × 6371000     		dr = 292.747449999753m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10014018--0.10009225) × cos(-0.28952947) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.958378318531344 × 6371000     		do = 292.652348854727m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10014018--0.10009225) × cos(-0.28957542) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.958365198734348 × 6371000     		du = 292.648342566884m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.28952947)-sin(-0.28957542))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.958378318531344-0.958365198734348)×R²
    abs(-0.10009225--0.10014018)×1.31197969959196e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.31197969959196e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.31197969959196e-05×40589641000000     		ar = 85672.6424634394m²