Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63446 / 71663
↖ ↑ ↗
← S 16.591449°
W  5.740356°		 ← 292.71 m → S 16.591449°
W  5.737610°		 →
↑
292.68 m
↓
↑
292.68 m
↓
S 16.594082°
W  5.740356°		 ← 292.71 m →
85 671 m²		 S 16.594082°
W  5.737610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63446 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 71663 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484058380126953 y=0.546749114990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484058380126953 × 217)
    floor (0.484058380126953 × 131072)
    floor (63446.5)     		tx = 63446
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.546749114990234 × 217)
    floor (0.546749114990234 × 131072)
    floor (71663.5)     		ty = 71663
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63446 / 71663 ti = "17/63446/71663"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63446/71663.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63446 ÷ 217
    63446 ÷ 131072     		x = 0.484054565429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 71663 ÷ 217
    71663 ÷ 131072     		y = 0.546745300292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484054565429688 × 2 - 1) × π
    -0.031890869140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.10018812
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.546745300292969 × 2 - 1) × π
    -0.0934906005859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.293709383972084
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10018812} λ = -0.10018812}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.293709383972084))-π/2
    2×atan(0.74549311221214)-π/2
    2×0.640610455274479-π/2
    1.28122091054896-1.57079632675     		φ = -0.28957542
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10018812} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.740356°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.28957542 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -16.591449°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63446 KachelY 71663 -0.10018812 -0.28957542 -5.740356 -16.591449
    Oben rechts KachelX + 1 63447 KachelY 71663 -0.10014018 -0.28957542 -5.737610 -16.591449
    Unten links KachelX 63446 KachelY + 1 71664 -0.10018812 -0.28962136 -5.740356 -16.594082
    Unten rechts KachelX + 1 63447 KachelY + 1 71664 -0.10014018 -0.28962136 -5.737610 -16.594082
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.28957542--0.28962136) × R
    4.59400000000221e-05 × 6371000     		dl = 292.683740000141m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.28957542--0.28962136) × R
    4.59400000000221e-05 × 6371000     		dr = 292.683740000141m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10018812--0.10014018) × cos(-0.28957542) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.958365198734348 × 6371000     		do = 292.709400013747m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10018812--0.10014018) × cos(-0.28962136) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.958352079769751 × 6371000     		du = 292.705393144277m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.28957542)-sin(-0.28962136))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.958365198734348-0.958352079769751)×R²
    abs(-0.10014018--0.10018812)×1.311896459677e-05×R²
    4.79400000000102e-05×1.311896459677e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×1.311896459677e-05×40589641000000     		ar = 85670.6955715256m²