Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 63445 / 42774
↖ ↑ ↗
← S 48.070738°
E168.513794°		 ← 408.14 m → S 48.070738°
E168.519287°		 →
↑
408.13 m
↓
↑
408.13 m
↓
S 48.074409°
E168.513794°		 ← 408.11 m →
166 565 m²		 S 48.074409°
E168.519287°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63445 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42774 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.968101501464844 y=0.652687072753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.968101501464844 × 216)
    floor (0.968101501464844 × 65536)
    floor (63445.5)     		tx = 63445
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652687072753906 × 216)
    floor (0.652687072753906 × 65536)
    floor (42774.5)     		ty = 42774
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 63445 / 42774 ti = "16/63445/42774"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/63445/42774.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63445 ÷ 216
    63445 ÷ 65536     		x = 0.968093872070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42774 ÷ 216
    42774 ÷ 65536     		y = 0.652679443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.968093872070312 × 2 - 1) × π
    0.936187744140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.94112054
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.652679443359375 × 2 - 1) × π
    -0.30535888671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.959313235196564
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.94112054} λ = 2.94112054}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.959313235196564))-π/2
    2×atan(0.383155933648289)-π/2
    2×0.365901835118744-π/2
    0.731803670237487-1.57079632675     		φ = -0.83899266
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.94112054} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 168.513794°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83899266 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.070738°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63445 KachelY 42774 2.94112054 -0.83899266 168.513794 -48.070738
    Oben rechts KachelX + 1 63446 KachelY 42774 2.94121641 -0.83899266 168.519287 -48.070738
    Unten links KachelX 63445 KachelY + 1 42775 2.94112054 -0.83905672 168.513794 -48.074409
    Unten rechts KachelX + 1 63446 KachelY + 1 42775 2.94121641 -0.83905672 168.519287 -48.074409
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83899266--0.83905672) × R
    6.40600000000324e-05 × 6371000     		dl = 408.126260000207m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83899266--0.83905672) × R
    6.40600000000324e-05 × 6371000     		dr = 408.126260000207m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.94112054-2.94121641) × cos(-0.83899266) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.668212595866378 × 6371000     		do = 408.136081315127m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.94112054-2.94121641) × cos(-0.83905672) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.668164935752784 × 6371000     		du = 408.106971100627m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83899266)-sin(-0.83905672))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.668212595866378-0.668164935752784)×R²
    abs(2.94121641-2.94112054)×4.76601135943611e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.76601135943611e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.76601135943611e-05×40589641000000     		ar = 166565.112173527m²