Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 63440 / 42928
↖ ↑ ↗
← S 48.632909°
E168.486328°		 ← 403.66 m → S 48.632909°
E168.491821°		 →
↑
403.67 m
↓
↑
403.67 m
↓
S 48.636539°
E168.486328°		 ← 403.63 m →
162 937 m²		 S 48.636539°
E168.491821°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63440 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42928 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.968025207519531 y=0.655036926269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.968025207519531 × 216)
    floor (0.968025207519531 × 65536)
    floor (63440.5)     		tx = 63440
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655036926269531 × 216)
    floor (0.655036926269531 × 65536)
    floor (42928.5)     		ty = 42928
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 63440 / 42928 ti = "16/63440/42928"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/63440/42928.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63440 ÷ 216
    63440 ÷ 65536     		x = 0.968017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42928 ÷ 216
    42928 ÷ 65536     		y = 0.655029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.968017578125 × 2 - 1) × π
    0.93603515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.94064117
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.655029296875 × 2 - 1) × π
    -0.31005859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.974077800279541
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.94064117} λ = 2.94064117}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.974077800279541))-π/2
    2×atan(0.377540360687545)-π/2
    2×0.360995973584002-π/2
    0.721991947168003-1.57079632675     		φ = -0.84880438
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.94064117} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 168.486328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84880438 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.632909°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63440 KachelY 42928 2.94064117 -0.84880438 168.486328 -48.632909
    Oben rechts KachelX + 1 63441 KachelY 42928 2.94073704 -0.84880438 168.491821 -48.632909
    Unten links KachelX 63440 KachelY + 1 42929 2.94064117 -0.84886774 168.486328 -48.636539
    Unten rechts KachelX + 1 63441 KachelY + 1 42929 2.94073704 -0.84886774 168.491821 -48.636539
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84880438--0.84886774) × R
    6.33599999999568e-05 × 6371000     		dl = 403.666559999725m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84880438--0.84886774) × R
    6.33599999999568e-05 × 6371000     		dr = 403.666559999725m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.94064117-2.94073704) × cos(-0.84880438) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.6608809198237 × 6371000     		do = 403.657983254657m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.94064117-2.94073704) × cos(-0.84886774) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.660833367401405 × 6371000     		du = 403.628938816686m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84880438)-sin(-0.84886774))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.6608809198237-0.660833367401405)×R²
    abs(2.94073704-2.94064117)×4.75524222942614e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75524222942614e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75524222942614e-05×40589641000000     		ar = 162937.367437085m²