Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63437 / 71667
↖ ↑ ↗
← S 16.601978°
W  5.765076°		 ← 292.63 m → S 16.601978°
W  5.762329°		 →
↑
292.62 m
↓
↑
292.62 m
↓
S 16.604610°
W  5.765076°		 ← 292.63 m →
85 629 m²		 S 16.604610°
W  5.762329°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63437 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 71667 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.483989715576172 y=0.546779632568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.483989715576172 × 217)
    floor (0.483989715576172 × 131072)
    floor (63437.5)     		tx = 63437
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.546779632568359 × 217)
    floor (0.546779632568359 × 131072)
    floor (71667.5)     		ty = 71667
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63437 / 71667 ti = "17/63437/71667"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63437/71667.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63437 ÷ 217
    63437 ÷ 131072     		x = 0.483985900878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 71667 ÷ 217
    71667 ÷ 131072     		y = 0.546775817871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.483985900878906 × 2 - 1) × π
    -0.0320281982421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.10061955
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.546775817871094 × 2 - 1) × π
    -0.0935516357421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.293901131570564
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10061955} λ = -0.10061955}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.293901131570564))-π/2
    2×atan(0.745350179402139)-π/2
    2×0.640518575677579-π/2
    1.28103715135516-1.57079632675     		φ = -0.28975918
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10061955} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.765076°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.28975918 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -16.601978°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63437 KachelY 71667 -0.10061955 -0.28975918 -5.765076 -16.601978
    Oben rechts KachelX + 1 63438 KachelY 71667 -0.10057162 -0.28975918 -5.762329 -16.601978
    Unten links KachelX 63437 KachelY + 1 71668 -0.10061955 -0.28980511 -5.765076 -16.604610
    Unten rechts KachelX + 1 63438 KachelY + 1 71668 -0.10057162 -0.28980511 -5.762329 -16.604610
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.28975918--0.28980511) × R
    4.59299999999718e-05 × 6371000     		dl = 292.620029999821m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.28975918--0.28980511) × R
    4.59299999999718e-05 × 6371000     		dr = 292.620029999821m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10061955--0.10057162) × cos(-0.28975918) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.958312710740553 × 6371000     		do = 292.632314726548m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10061955--0.10057162) × cos(-0.28980511) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.958299586543432 × 6371000     		du = 292.628307095073m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.28975918)-sin(-0.28980511))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.958312710740553-0.958299586543432)×R²
    abs(-0.10057162--0.10061955)×1.31241971212948e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.31241971212948e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.31241971212948e-05×40589641000000     		ar = 85629.4903725997m²