Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63435 / 75098
↖ ↑ ↗
← S 25.388698°
W  5.770569°		 ← 275.93 m → S 25.388698°
W  5.767822°		 →
↑
275.93 m
↓
↑
275.93 m
↓
S 25.391179°
W  5.770569°		 ← 275.92 m →
76 135 m²		 S 25.391179°
W  5.767822°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63435 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75098 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.483974456787109 y=0.572956085205078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.483974456787109 × 217)
    floor (0.483974456787109 × 131072)
    floor (63435.5)     		tx = 63435
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.572956085205078 × 217)
    floor (0.572956085205078 × 131072)
    floor (75098.5)     		ty = 75098
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63435 / 75098 ti = "17/63435/75098"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63435/75098.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63435 ÷ 217
    63435 ÷ 131072     		x = 0.483970642089844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75098 ÷ 217
    75098 ÷ 131072     		y = 0.572952270507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.483970642089844 × 2 - 1) × π
    -0.0320587158203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.10071543
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.572952270507812 × 2 - 1) × π
    -0.145904541015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.458372634166977
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10071543} λ = -0.10071543}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.458372634166977))-π/2
    2×atan(0.632311811316616)-π/2
    2×0.563839977040322-π/2
    1.12767995408064-1.57079632675     		φ = -0.44311637
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10071543} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.770569°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44311637 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.388698°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63435 KachelY 75098 -0.10071543 -0.44311637 -5.770569 -25.388698
    Oben rechts KachelX + 1 63436 KachelY 75098 -0.10066749 -0.44311637 -5.767822 -25.388698
    Unten links KachelX 63435 KachelY + 1 75099 -0.10071543 -0.44315968 -5.770569 -25.391179
    Unten rechts KachelX + 1 63436 KachelY + 1 75099 -0.10066749 -0.44315968 -5.767822 -25.391179
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44311637--0.44315968) × R
    4.33100000000186e-05 × 6371000     		dl = 275.928010000119m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44311637--0.44315968) × R
    4.33100000000186e-05 × 6371000     		dr = 275.928010000119m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10071543--0.10066749) × cos(-0.44311637) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.903419887034911 × 6371000     		do = 275.927687528333m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10071543--0.10066749) × cos(-0.44315968) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.903401316724845 × 6371000     		du = 275.922015677639m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44311637)-sin(-0.44315968))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.903419887034911-0.903401316724845)×R²
    abs(-0.10066749--0.10071543)×1.85703100659129e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.85703100659129e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.85703100659129e-05×40589641000000     		ar = 76135.3952242332m²