Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6343 / 6121
↖ ↑ ↗
← S 66.107170°
E 98.745117°		 ← 1 979.16 m → S 66.107170°
E 98.789063°		 →
↑
1 978.45 m
↓
↑
1 978.45 m
↓
S 66.124962°
E 98.745117°		 ← 1 977.78 m →
3 914 302 m²		 S 66.124962°
E 98.789063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6343 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6121 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.77435302734375 y=0.74725341796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.77435302734375 × 213)
    floor (0.77435302734375 × 8192)
    floor (6343.5)     		tx = 6343
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.74725341796875 × 213)
    floor (0.74725341796875 × 8192)
    floor (6121.5)     		ty = 6121
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6343 / 6121 ti = "13/6343/6121"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6343/6121.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6343 ÷ 213
    6343 ÷ 8192     		x = 0.7742919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6121 ÷ 213
    6121 ÷ 8192     		y = 0.7471923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7742919921875 × 2 - 1) × π
    0.548583984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.72342742
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7471923828125 × 2 - 1) × π
    -0.494384765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.55315554768982
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72342742} λ = 1.72342742}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55315554768982))-π/2
    2×atan(0.21157927084023)-π/2
    2×0.208504279420741-π/2
    0.417008558841482-1.57079632675     		φ = -1.15378777
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72342742} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.745117°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15378777 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.107170°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6343 KachelY 6121 1.72342742 -1.15378777 98.745117 -66.107170
    Oben rechts KachelX + 1 6344 KachelY 6121 1.72419441 -1.15378777 98.789063 -66.107170
    Unten links KachelX 6343 KachelY + 1 6122 1.72342742 -1.15409831 98.745117 -66.124962
    Unten rechts KachelX + 1 6344 KachelY + 1 6122 1.72419441 -1.15409831 98.789063 -66.124962
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15378777--1.15409831) × R
    0.000310539999999859 × 6371000     		dl = 1978.4503399991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15378777--1.15409831) × R
    0.000310539999999859 × 6371000     		dr = 1978.4503399991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72342742-1.72419441) × cos(-1.15378777) × R
    0.000766990000000023 × 0.405027178959019 × 6371000     		do = 1979.16259225093m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72342742-1.72419441) × cos(-1.15409831) × R
    0.000766990000000023 × 0.404743231269634 × 6371000     		du = 1977.77508377204m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15378777)-sin(-1.15409831))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.405027178959019-0.404743231269634)×R²
    abs(1.72419441-1.72342742)×0.000283947689385167×R²
    0.000766990000000023×0.000283947689385167×6371000²
    0.000766990000000023×0.000283947689385167×40589641000000     		ar = 3914302.37670057m²