Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6342 / 6073
↖ ↑ ↗
← S 65.238307°
E 98.701172°		 ← 2 046.71 m → S 65.238307°
E 98.745117°		 →
↑
2 045.98 m
↓
↑
2 045.98 m
↓
S 65.256707°
E 98.701172°		 ← 2 045.29 m →
4 186 077 m²		 S 65.256707°
E 98.745117°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6342 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6073 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.77423095703125 y=0.74139404296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.77423095703125 × 213)
    floor (0.77423095703125 × 8192)
    floor (6342.5)     		tx = 6342
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.74139404296875 × 213)
    floor (0.74139404296875 × 8192)
    floor (6073.5)     		ty = 6073
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6342 / 6073 ti = "13/6342/6073"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6342/6073.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6342 ÷ 213
    6342 ÷ 8192     		x = 0.774169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6073 ÷ 213
    6073 ÷ 8192     		y = 0.7413330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774169921875 × 2 - 1) × π
    0.54833984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.72266042
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7413330078125 × 2 - 1) × π
    -0.482666015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.51634000878162
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72266042} λ = 1.72266042}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51634000878162))-π/2
    2×atan(0.21951383720805)-π/2
    2×0.216086538894847-π/2
    0.432173077789695-1.57079632675     		φ = -1.13862325
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72266042} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.701172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13862325 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.238307°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6342 KachelY 6073 1.72266042 -1.13862325 98.701172 -65.238307
    Oben rechts KachelX + 1 6343 KachelY 6073 1.72342742 -1.13862325 98.745117 -65.238307
    Unten links KachelX 6342 KachelY + 1 6074 1.72266042 -1.13894439 98.701172 -65.256707
    Unten rechts KachelX + 1 6343 KachelY + 1 6074 1.72342742 -1.13894439 98.745117 -65.256707
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13862325--1.13894439) × R
    0.000321140000000053 × 6371000     		dl = 2045.98294000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13862325--1.13894439) × R
    0.000321140000000053 × 6371000     		dr = 2045.98294000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72266042-1.72342742) × cos(-1.13862325) × R
    0.000766999999999962 × 0.41884506896623 × 6371000     		do = 2046.71030367231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72266042-1.72342742) × cos(-1.13894439) × R
    0.000766999999999962 × 0.418553433719698 × 6371000     		du = 2045.28521141693m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13862325)-sin(-1.13894439))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41884506896623-0.418553433719698)×R²
    abs(1.72342742-1.72266042)×0.000291635246532307×R²
    0.000766999999999962×0.000291635246532307×6371000²
    0.000766999999999962×0.000291635246532307×40589641000000     		ar = 4186076.54318941m²