Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63418 / 75145
↖ ↑ ↗
← S 25.505263°
W  5.817261°		 ← 275.60 m → S 25.505263°
W  5.814514°		 →
↑
275.67 m
↓
↑
275.67 m
↓
S 25.507742°
W  5.817261°		 ← 275.60 m →
75 976 m²		 S 25.507742°
W  5.814514°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63418 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75145 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.483844757080078 y=0.573314666748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.483844757080078 × 217)
    floor (0.483844757080078 × 131072)
    floor (63418.5)     		tx = 63418
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.573314666748047 × 217)
    floor (0.573314666748047 × 131072)
    floor (75145.5)     		ty = 75145
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63418 / 75145 ti = "17/63418/75145"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63418/75145.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63418 ÷ 217
    63418 ÷ 131072     		x = 0.483840942382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75145 ÷ 217
    75145 ÷ 131072     		y = 0.573310852050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.483840942382812 × 2 - 1) × π
    -0.032318115234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.10153035
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.573310852050781 × 2 - 1) × π
    -0.146621704101562 × 3.1415926535     		Φ = -0.46062566844912
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10153035} λ = -0.10153035}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.46062566844912))-π/2
    2×atan(0.630888794783188)-π/2
    2×0.562822751156805-π/2
    1.12564550231361-1.57079632675     		φ = -0.44515082
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10153035} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.817261°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44515082 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.505263°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63418 KachelY 75145 -0.10153035 -0.44515082 -5.817261 -25.505263
    Oben rechts KachelX + 1 63419 KachelY 75145 -0.10148242 -0.44515082 -5.814514 -25.505263
    Unten links KachelX 63418 KachelY + 1 75146 -0.10153035 -0.44519409 -5.817261 -25.507742
    Unten rechts KachelX + 1 63419 KachelY + 1 75146 -0.10148242 -0.44519409 -5.814514 -25.507742
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44515082--0.44519409) × R
    4.32699999999842e-05 × 6371000     		dl = 275.673169999899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44515082--0.44519409) × R
    4.32699999999842e-05 × 6371000     		dr = 275.673169999899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10153035--0.10148242) × cos(-0.44515082) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.902545733473177 × 6371000     		do = 275.603197341217m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10153035--0.10148242) × cos(-0.44519409) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.902527100825578 × 6371000     		du = 275.597507638122m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44515082)-sin(-0.44519409))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.902545733473177-0.902527100825578)×R²
    abs(-0.10148242--0.10153035)×1.86326475983822e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.86326475983822e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.86326475983822e-05×40589641000000     		ar = 75975.6228356919m²