Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63417 / 75159
↖ ↑ ↗
← S 25.539963°
W  5.820007°		 ← 275.58 m → S 25.539963°
W  5.817261°		 →
↑
275.55 m
↓
↑
275.55 m
↓
S 25.542441°
W  5.820007°		 ← 275.58 m →
75 934 m²		 S 25.542441°
W  5.817261°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63417 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75159 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.483837127685547 y=0.573421478271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.483837127685547 × 217)
    floor (0.483837127685547 × 131072)
    floor (63417.5)     		tx = 63417
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.573421478271484 × 217)
    floor (0.573421478271484 × 131072)
    floor (75159.5)     		ty = 75159
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63417 / 75159 ti = "17/63417/75159"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63417/75159.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63417 ÷ 217
    63417 ÷ 131072     		x = 0.483833312988281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75159 ÷ 217
    75159 ÷ 131072     		y = 0.573417663574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.483833312988281 × 2 - 1) × π
    -0.0323333740234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.10157829
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.573417663574219 × 2 - 1) × π
    -0.146835327148438 × 3.1415926535     		Φ = -0.4612967850438
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10157829} λ = -0.10157829}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.4612967850438))-π/2
    2×atan(0.630465536887196)-π/2
    2×0.562519938221736-π/2
    1.12503987644347-1.57079632675     		φ = -0.44575645
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10157829} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.820007°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44575645 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.539963°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63417 KachelY 75159 -0.10157829 -0.44575645 -5.820007 -25.539963
    Oben rechts KachelX + 1 63418 KachelY 75159 -0.10153035 -0.44575645 -5.817261 -25.539963
    Unten links KachelX 63417 KachelY + 1 75160 -0.10157829 -0.44579970 -5.820007 -25.542441
    Unten rechts KachelX + 1 63418 KachelY + 1 75160 -0.10153035 -0.44579970 -5.817261 -25.542441
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44575645--0.44579970) × R
    4.32499999999947e-05 × 6371000     		dl = 275.545749999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44575645--0.44579970) × R
    4.32499999999947e-05 × 6371000     		dr = 275.545749999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10157829--0.10153035) × cos(-0.44575645) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.902284787319241 × 6371000     		do = 275.580998857701m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10157829--0.10153035) × cos(-0.44579970) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.902266139647135 × 6371000     		du = 275.575303378648m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44575645)-sin(-0.44579970))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.902284787319241-0.902266139647135)×R²
    abs(-0.10153035--0.10157829)×1.86476721059092e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.86476721059092e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.86476721059092e-05×40589641000000     		ar = 75934.3883453291m²