Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63416 / 75160
↖ ↑ ↗
← S 25.542441°
W  5.822754°		 ← 275.58 m → S 25.542441°
W  5.820007°		 →
↑
275.55 m
↓
↑
275.55 m
↓
S 25.544919°
W  5.822754°		 ← 275.57 m →
75 933 m²		 S 25.544919°
W  5.820007°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63416 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75160 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.483829498291016 y=0.573429107666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.483829498291016 × 217)
    floor (0.483829498291016 × 131072)
    floor (63416.5)     		tx = 63416
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.573429107666016 × 217)
    floor (0.573429107666016 × 131072)
    floor (75160.5)     		ty = 75160
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63416 / 75160 ti = "17/63416/75160"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63416/75160.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63416 ÷ 217
    63416 ÷ 131072     		x = 0.48382568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75160 ÷ 217
    75160 ÷ 131072     		y = 0.57342529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48382568359375 × 2 - 1) × π
    -0.0323486328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.10162623
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57342529296875 × 2 - 1) × π
    -0.1468505859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.46134472194342
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10162623} λ = -0.10162623}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.46134472194342))-π/2
    2×atan(0.630435315048417)-π/2
    2×0.562498312077587-π/2
    1.12499662415517-1.57079632675     		φ = -0.44579970
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10162623} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.822754°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44579970 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.542441°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63416 KachelY 75160 -0.10162623 -0.44579970 -5.822754 -25.542441
    Oben rechts KachelX + 1 63417 KachelY 75160 -0.10157829 -0.44579970 -5.820007 -25.542441
    Unten links KachelX 63416 KachelY + 1 75161 -0.10162623 -0.44584295 -5.822754 -25.544919
    Unten rechts KachelX + 1 63417 KachelY + 1 75161 -0.10157829 -0.44584295 -5.820007 -25.544919
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44579970--0.44584295) × R
    4.32499999999947e-05 × 6371000     		dl = 275.545749999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44579970--0.44584295) × R
    4.32499999999947e-05 × 6371000     		dr = 275.545749999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10162623--0.10157829) × cos(-0.44579970) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.902266139647135 × 6371000     		do = 275.575303378648m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10162623--0.10157829) × cos(-0.44584295) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.902247490287284 × 6371000     		du = 275.569607384115m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44579970)-sin(-0.44584295))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.902266139647135-0.902247490287284)×R²
    abs(-0.10157829--0.10162623)×1.86493598510751e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.86493598510751e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.86493598510751e-05×40589641000000     		ar = 75932.8189092393m²