Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63406 / 76958
↖ ↑ ↗
← S 29.912091°
W  5.850220°		 ← 264.74 m → S 29.912091°
W  5.847473°		 →
↑
264.72 m
↓
↑
264.72 m
↓
S 29.914471°
W  5.850220°		 ← 264.73 m →
70 080 m²		 S 29.914471°
W  5.847473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63406 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76958 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.483753204345703 y=0.587146759033203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.483753204345703 × 217)
    floor (0.483753204345703 × 131072)
    floor (63406.5)     		tx = 63406
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587146759033203 × 217)
    floor (0.587146759033203 × 131072)
    floor (76958.5)     		ty = 76958
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63406 / 76958 ti = "17/63406/76958"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63406/76958.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63406 ÷ 217
    63406 ÷ 131072     		x = 0.483749389648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76958 ÷ 217
    76958 ÷ 131072     		y = 0.587142944335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.483749389648438 × 2 - 1) × π
    -0.032501220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.10210560
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.587142944335938 × 2 - 1) × π
    -0.174285888671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.547535267460281
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10210560} λ = -0.10210560}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.547535267460281))-π/2
    2×atan(0.578373591250658)-π/2
    2×0.524365927059914-π/2
    1.04873185411983-1.57079632675     		φ = -0.52206447
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10210560} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.850220°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52206447 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.912091°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63406 KachelY 76958 -0.10210560 -0.52206447 -5.850220 -29.912091
    Oben rechts KachelX + 1 63407 KachelY 76958 -0.10205766 -0.52206447 -5.847473 -29.912091
    Unten links KachelX 63406 KachelY + 1 76959 -0.10210560 -0.52210602 -5.850220 -29.914471
    Unten rechts KachelX + 1 63407 KachelY + 1 76959 -0.10205766 -0.52210602 -5.847473 -29.914471
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52206447--0.52210602) × R
    4.15499999999458e-05 × 6371000     		dl = 264.715049999655m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52206447--0.52210602) × R
    4.15499999999458e-05 × 6371000     		dr = 264.715049999655m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10210560--0.10205766) × cos(-0.52206447) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.866791536930336 × 6371000     		do = 264.740446592742m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10210560--0.10205766) × cos(-0.52210602) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.866770816416022 × 6371000     		du = 264.734118014324m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52206447)-sin(-0.52210602))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.866791536930336-0.866770816416022)×R²
    abs(-0.10205766--0.10210560)×2.07205143142319e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.07205143142319e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.07205143142319e-05×40589641000000     		ar = 70079.9429317973m²