Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63405 / 75191
↖ ↑ ↗
← S 25.619239°
W  5.852966°		 ← 275.34 m → S 25.619239°
W  5.850220°		 →
↑
275.35 m
↓
↑
275.35 m
↓
S 25.621716°
W  5.852966°		 ← 275.34 m →
75 816 m²		 S 25.621716°
W  5.850220°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63405 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75191 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.483745574951172 y=0.573665618896484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.483745574951172 × 217)
    floor (0.483745574951172 × 131072)
    floor (63405.5)     		tx = 63405
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.573665618896484 × 217)
    floor (0.573665618896484 × 131072)
    floor (75191.5)     		ty = 75191
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63405 / 75191 ti = "17/63405/75191"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63405/75191.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63405 ÷ 217
    63405 ÷ 131072     		x = 0.483741760253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75191 ÷ 217
    75191 ÷ 131072     		y = 0.573661804199219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.483741760253906 × 2 - 1) × π
    -0.0325164794921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.10215353
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.573661804199219 × 2 - 1) × π
    -0.147323608398438 × 3.1415926535     		Φ = -0.462830765831642
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10215353} λ = -0.10215353}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.462830765831642))-π/2
    2×atan(0.629499156260371)-π/2
    2×0.561828123473213-π/2
    1.12365624694643-1.57079632675     		φ = -0.44714008
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10215353} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.852966°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44714008 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.619239°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63405 KachelY 75191 -0.10215353 -0.44714008 -5.852966 -25.619239
    Oben rechts KachelX + 1 63406 KachelY 75191 -0.10210560 -0.44714008 -5.850220 -25.619239
    Unten links KachelX 63405 KachelY + 1 75192 -0.10215353 -0.44718330 -5.852966 -25.621716
    Unten rechts KachelX + 1 63406 KachelY + 1 75192 -0.10210560 -0.44718330 -5.850220 -25.621716
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44714008--0.44718330) × R
    4.32200000000105e-05 × 6371000     		dl = 275.354620000067m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44714008--0.44718330) × R
    4.32200000000105e-05 × 6371000     		dr = 275.354620000067m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10215353--0.10210560) × cos(-0.44714008) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.9016873848472 × 6371000     		do = 275.341090262341m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10215353--0.10210560) × cos(-0.44718330) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.901668696171821 × 6371000     		du = 275.33538345049m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44714008)-sin(-0.44718330))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9016873848472-0.901668696171821)×R²
    abs(-0.10210560--0.10215353)×1.86886753786863e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.86886753786863e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.86886753786863e-05×40589641000000     		ar = 75815.6555929234m²