Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63403 / 76964
↖ ↑ ↗
← S 29.926374°
W  5.858460°		 ← 264.70 m → S 29.926374°
W  5.855713°		 →
↑
264.72 m
↓
↑
264.72 m
↓
S 29.928755°
W  5.858460°		 ← 264.70 m →
70 070 m²		 S 29.928755°
W  5.855713°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63403 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76964 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.483730316162109 y=0.587192535400391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.483730316162109 × 217)
    floor (0.483730316162109 × 131072)
    floor (63403.5)     		tx = 63403
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587192535400391 × 217)
    floor (0.587192535400391 × 131072)
    floor (76964.5)     		ty = 76964
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63403 / 76964 ti = "17/63403/76964"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63403/76964.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63403 ÷ 217
    63403 ÷ 131072     		x = 0.483726501464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76964 ÷ 217
    76964 ÷ 131072     		y = 0.587188720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.483726501464844 × 2 - 1) × π
    -0.0325469970703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.10224941
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.587188720703125 × 2 - 1) × π
    -0.17437744140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.547822888858002
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10224941} λ = -0.10224941}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.547822888858002))-π/2
    2×atan(0.578207262550931)-π/2
    2×0.52424128210373-π/2
    1.04848256420746-1.57079632675     		φ = -0.52231376
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10224941} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.858460°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52231376 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.926374°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63403 KachelY 76964 -0.10224941 -0.52231376 -5.858460 -29.926374
    Oben rechts KachelX + 1 63404 KachelY 76964 -0.10220147 -0.52231376 -5.855713 -29.926374
    Unten links KachelX 63403 KachelY + 1 76965 -0.10224941 -0.52235531 -5.858460 -29.928755
    Unten rechts KachelX + 1 63404 KachelY + 1 76965 -0.10220147 -0.52235531 -5.855713 -29.928755
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52231376--0.52235531) × R
    4.15500000000568e-05 × 6371000     		dl = 264.715050000362m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52231376--0.52235531) × R
    4.15500000000568e-05 × 6371000     		dr = 264.715050000362m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10224941--0.10220147) × cos(-0.52231376) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.866667196388104 × 6371000     		do = 264.702469790542m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10224941--0.10220147) × cos(-0.52235531) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.866646466896315 × 6371000     		du = 264.696138470172m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52231376)-sin(-0.52235531))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.866667196388104-0.866646466896315)×R²
    abs(-0.10220147--0.10224941)×2.07294917894396e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.07294917894396e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.07294917894396e-05×40589641000000     		ar = 70069.8895380109m²