Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 63402 / 75175
↖ ↑ ↗
← S 25.579608°
W  5.861206°		 ← 275.43 m → S 25.579608°
W  5.858460°		 →
↑
275.48 m
↓
↑
275.48 m
↓
S 25.582085°
W  5.861206°		 ← 275.43 m →
75 876 m²		 S 25.582085°
W  5.858460°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63402 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75175 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.483722686767578 y=0.573543548583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.483722686767578 × 217)
    floor (0.483722686767578 × 131072)
    floor (63402.5)     		tx = 63402
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.573543548583984 × 217)
    floor (0.573543548583984 × 131072)
    floor (75175.5)     		ty = 75175
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63402 / 75175 ti = "17/63402/75175"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63402/75175.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63402 ÷ 217
    63402 ÷ 131072     		x = 0.483718872070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75175 ÷ 217
    75175 ÷ 131072     		y = 0.573539733886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.483718872070312 × 2 - 1) × π
    -0.032562255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.10229734
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.573539733886719 × 2 - 1) × π
    -0.147079467773438 × 3.1415926535     		Φ = -0.462063775437721
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10229734} λ = -0.10229734}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.462063775437721))-π/2
    2×atan(0.629982161272628)-π/2
    2×0.56217397357224-π/2
    1.12434794714448-1.57079632675     		φ = -0.44644838
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10229734} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.861206°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44644838 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.579608°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63402 KachelY 75175 -0.10229734 -0.44644838 -5.861206 -25.579608
    Oben rechts KachelX + 1 63403 KachelY 75175 -0.10224941 -0.44644838 -5.858460 -25.579608
    Unten links KachelX 63402 KachelY + 1 75176 -0.10229734 -0.44649162 -5.861206 -25.582085
    Unten rechts KachelX + 1 63403 KachelY + 1 75176 -0.10224941 -0.44649162 -5.858460 -25.582085
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44644838--0.44649162) × R
    4.32399999999999e-05 × 6371000     		dl = 275.48204m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44644838--0.44649162) × R
    4.32399999999999e-05 × 6371000     		dr = 275.48204m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10229734--0.10224941) × cos(-0.44644838) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.901986252279199 × 6371000     		do = 275.432353028077m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10229734--0.10224941) × cos(-0.44649162) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.901967581928126 × 6371000     		du = 275.426651811773m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44644838)-sin(-0.44649162))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.901986252279199-0.901967581928126)×R²
    abs(-0.10224941--0.10229734)×1.86703510728359e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.86703510728359e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.86703510728359e-05×40589641000000     		ar = 75875.8812147046m²