Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63401 / 76967
↖ ↑ ↗
← S 29.933515°
W  5.863953°		 ← 264.68 m → S 29.933515°
W  5.861206°		 →
↑
264.72 m
↓
↑
264.72 m
↓
S 29.935895°
W  5.863953°		 ← 264.68 m →
70 065 m²		 S 29.935895°
W  5.861206°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63401 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76967 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.483715057373047 y=0.587215423583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.483715057373047 × 217)
    floor (0.483715057373047 × 131072)
    floor (63401.5)     		tx = 63401
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587215423583984 × 217)
    floor (0.587215423583984 × 131072)
    floor (76967.5)     		ty = 76967
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63401 / 76967 ti = "17/63401/76967"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63401/76967.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63401 ÷ 217
    63401 ÷ 131072     		x = 0.483711242675781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76967 ÷ 217
    76967 ÷ 131072     		y = 0.587211608886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.483711242675781 × 2 - 1) × π
    -0.0325775146484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.10234528
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.587211608886719 × 2 - 1) × π
    -0.174423217773438 × 3.1415926535     		Φ = -0.547966699556862
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10234528} λ = -0.10234528}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.547966699556862))-π/2
    2×atan(0.578124116139233)-π/2
    2×0.524178966331845-π/2
    1.04835793266369-1.57079632675     		φ = -0.52243839
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10234528} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.863953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52243839 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.933515°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63401 KachelY 76967 -0.10234528 -0.52243839 -5.863953 -29.933515
    Oben rechts KachelX + 1 63402 KachelY 76967 -0.10229734 -0.52243839 -5.861206 -29.933515
    Unten links KachelX 63401 KachelY + 1 76968 -0.10234528 -0.52247994 -5.863953 -29.935895
    Unten rechts KachelX + 1 63402 KachelY + 1 76968 -0.10229734 -0.52247994 -5.861206 -29.935895
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52243839--0.52247994) × R
    4.15499999999458e-05 × 6371000     		dl = 264.715049999655m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52243839--0.52247994) × R
    4.15499999999458e-05 × 6371000     		dr = 264.715049999655m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10234528--0.10229734) × cos(-0.52243839) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.866605013404125 × 6371000     		do = 264.683477506644m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10234528--0.10229734) × cos(-0.52247994) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.866584279424621 × 6371000     		du = 264.677144815611m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52243839)-sin(-0.52247994))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.866605013404125-0.866584279424621)×R²
    abs(-0.10229734--0.10234528)×2.07339795036399e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.07339795036399e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.07339795036399e-05×40589641000000     		ar = 70064.8618130728m²