Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 63401 / 42895
↖ ↑ ↗
← S 48.512966°
E168.272095°		 ← 404.66 m → S 48.512966°
E168.277588°		 →
↑
404.62 m
↓
↑
404.62 m
↓
S 48.516604°
E168.272095°		 ← 404.63 m →
163 728 m²		 S 48.516604°
E168.277588°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63401 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42895 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.967430114746094 y=0.654533386230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.967430114746094 × 216)
    floor (0.967430114746094 × 65536)
    floor (63401.5)     		tx = 63401
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654533386230469 × 216)
    floor (0.654533386230469 × 65536)
    floor (42895.5)     		ty = 42895
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 63401 / 42895 ti = "16/63401/42895"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/63401/42895.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63401 ÷ 216
    63401 ÷ 65536     		x = 0.967422485351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42895 ÷ 216
    42895 ÷ 65536     		y = 0.654525756835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.967422485351562 × 2 - 1) × π
    0.934844970703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.93690209
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654525756835938 × 2 - 1) × π
    -0.309051513671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.970913964904617
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.93690209} λ = 2.93690209}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.970913964904617))-π/2
    2×atan(0.378736727792479)-π/2
    2×0.362042674204212-π/2
    0.724085348408424-1.57079632675     		φ = -0.84671098
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.93690209} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 168.272095°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84671098 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.512966°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63401 KachelY 42895 2.93690209 -0.84671098 168.272095 -48.512966
    Oben rechts KachelX + 1 63402 KachelY 42895 2.93699797 -0.84671098 168.277588 -48.512966
    Unten links KachelX 63401 KachelY + 1 42896 2.93690209 -0.84677449 168.272095 -48.516604
    Unten rechts KachelX + 1 63402 KachelY + 1 42896 2.93699797 -0.84677449 168.277588 -48.516604
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84671098--0.84677449) × R
    6.35100000000444e-05 × 6371000     		dl = 404.622210000283m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84671098--0.84677449) × R
    6.35100000000444e-05 × 6371000     		dr = 404.622210000283m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.93690209-2.93699797) × cos(-0.84671098) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.662450547977106 × 6371000     		do = 404.658897660235m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.93690209-2.93699797) × cos(-0.84677449) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.662402970941446 × 6371000     		du = 404.629835157588m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84671098)-sin(-0.84677449))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.662450547977106-0.662402970941446)×R²
    abs(2.93699797-2.93690209)×4.75770356601624e-05×R²
    9.58800000003812e-05×4.75770356601624e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×4.75770356601624e-05×40589641000000     		ar = 163728.097855775m²