Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 63401 / 42793
↖ ↑ ↗
← S 48.140432°
E168.272095°		 ← 407.63 m → S 48.140432°
E168.277588°		 →
↑
407.55 m
↓
↑
407.55 m
↓
S 48.144098°
E168.272095°		 ← 407.60 m →
166 123 m²		 S 48.144098°
E168.277588°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63401 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42793 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.967430114746094 y=0.652976989746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.967430114746094 × 216)
    floor (0.967430114746094 × 65536)
    floor (63401.5)     		tx = 63401
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652976989746094 × 216)
    floor (0.652976989746094 × 65536)
    floor (42793.5)     		ty = 42793
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 63401 / 42793 ti = "16/63401/42793"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/63401/42793.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63401 ÷ 216
    63401 ÷ 65536     		x = 0.967422485351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42793 ÷ 216
    42793 ÷ 65536     		y = 0.652969360351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.967422485351562 × 2 - 1) × π
    0.934844970703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.93690209
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.652969360351562 × 2 - 1) × π
    -0.305938720703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.961134837382126
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.93690209} λ = 2.93690209}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.961134837382126))-π/2
    2×atan(0.382458611276945)-π/2
    2×0.365293638716482-π/2
    0.730587277432964-1.57079632675     		φ = -0.84020905
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.93690209} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 168.272095°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84020905 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.140432°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63401 KachelY 42793 2.93690209 -0.84020905 168.272095 -48.140432
    Oben rechts KachelX + 1 63402 KachelY 42793 2.93699797 -0.84020905 168.277588 -48.140432
    Unten links KachelX 63401 KachelY + 1 42794 2.93690209 -0.84027302 168.272095 -48.144098
    Unten rechts KachelX + 1 63402 KachelY + 1 42794 2.93699797 -0.84027302 168.277588 -48.144098
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84020905--0.84027302) × R
    6.39700000000243e-05 × 6371000     		dl = 407.552870000155m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84020905--0.84027302) × R
    6.39700000000243e-05 × 6371000     		dr = 407.552870000155m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.93690209-2.93699797) × cos(-0.84020905) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.667307143613514 × 6371000     		do = 407.625556292509m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.93690209-2.93699797) × cos(-0.84027302) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.667259498502907 × 6371000     		du = 407.596452206179m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84020905)-sin(-0.84027302))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.667307143613514-0.667259498502907)×R²
    abs(2.93699797-2.93690209)×4.76451106078413e-05×R²
    9.58800000003812e-05×4.76451106078413e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×4.76451106078413e-05×40589641000000     		ar = 166123.034682099m²