Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6339 / 6075
↖ ↑ ↗
← S 65.275093°
E 98.569336°		 ← 2 043.83 m → S 65.275093°
E 98.613281°		 →
↑
2 043.12 m
↓
↑
2 043.12 m
↓
S 65.293468°
E 98.569336°		 ← 2 042.41 m →
4 174 336 m²		 S 65.293468°
E 98.613281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6339 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6075 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.77386474609375 y=0.74163818359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.77386474609375 × 213)
    floor (0.77386474609375 × 8192)
    floor (6339.5)     		tx = 6339
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.74163818359375 × 213)
    floor (0.74163818359375 × 8192)
    floor (6075.5)     		ty = 6075
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6339 / 6075 ti = "13/6339/6075"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6339/6075.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6339 ÷ 213
    6339 ÷ 8192     		x = 0.7738037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6075 ÷ 213
    6075 ÷ 8192     		y = 0.7415771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7738037109375 × 2 - 1) × π
    0.547607421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.72035945
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7415771484375 × 2 - 1) × π
    -0.483154296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.51787398956946
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72035945} λ = 1.72035945}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51787398956946))-π/2
    2×atan(0.219177365335781)-π/2
    2×0.215765512409514-π/2
    0.431531024819028-1.57079632675     		φ = -1.13926530
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72035945} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.569336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13926530 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.275093°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6339 KachelY 6075 1.72035945 -1.13926530 98.569336 -65.275093
    Oben rechts KachelX + 1 6340 KachelY 6075 1.72112644 -1.13926530 98.613281 -65.275093
    Unten links KachelX 6339 KachelY + 1 6076 1.72035945 -1.13958599 98.569336 -65.293468
    Unten rechts KachelX + 1 6340 KachelY + 1 6076 1.72112644 -1.13958599 98.613281 -65.293468
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13926530--1.13958599) × R
    0.000320690000000123 × 6371000     		dl = 2043.11599000079m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13926530--1.13958599) × R
    0.000320690000000123 × 6371000     		dr = 2043.11599000079m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72035945-1.72112644) × cos(-1.13926530) × R
    0.000766990000000023 × 0.418261964222467 × 6371000     		do = 2043.83428163537m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72035945-1.72112644) × cos(-1.13958599) × R
    0.000766990000000023 × 0.417970651512596 × 6371000     		du = 2042.41078403329m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13926530)-sin(-1.13958599))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.418261964222467-0.417970651512596)×R²
    abs(1.72112644-1.72035945)×0.000291312709871094×R²
    0.000766990000000023×0.000291312709871094×6371000²
    0.000766990000000023×0.000291312709871094×40589641000000     		ar = 4174336.35213992m²