Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6339 / 10439
↖ ↑ ↗
← S 44.197959°
W 40.715332°		 ← 1 751.67 m → S 44.197959°
W 40.693359°		 →
↑
1 751.39 m
↓
↑
1 751.39 m
↓
S 44.213710°
W 40.715332°		 ← 1 751.20 m →
3 067 449 m²		 S 44.213710°
W 40.693359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6339 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10439 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.386932373046875 y=0.637176513671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.386932373046875 × 214)
    floor (0.386932373046875 × 16384)
    floor (6339.5)     		tx = 6339
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637176513671875 × 214)
    floor (0.637176513671875 × 16384)
    floor (10439.5)     		ty = 10439
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6339 / 10439 ti = "14/6339/10439"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6339/10439.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6339 ÷ 214
    6339 ÷ 16384     		x = 0.38690185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10439 ÷ 214
    10439 ÷ 16384     		y = 0.63714599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38690185546875 × 2 - 1) × π
    -0.2261962890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.71061660
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63714599609375 × 2 - 1) × π
    -0.2742919921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.861713707570129
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.71061660} λ = -0.71061660}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.861713707570129))-π/2
    2×atan(0.422437527268948)-π/2
    2×0.399698209455973-π/2
    0.799396418911945-1.57079632675     		φ = -0.77139991
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.71061660} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -40.715332°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77139991 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.197959°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6339 KachelY 10439 -0.71061660 -0.77139991 -40.715332 -44.197959
    Oben rechts KachelX + 1 6340 KachelY 10439 -0.71023310 -0.77139991 -40.693359 -44.197959
    Unten links KachelX 6339 KachelY + 1 10440 -0.71061660 -0.77167481 -40.715332 -44.213710
    Unten rechts KachelX + 1 6340 KachelY + 1 10440 -0.71023310 -0.77167481 -40.693359 -44.213710
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77139991--0.77167481) × R
    0.000274900000000078 × 6371000     		dl = 1751.3879000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77139991--0.77167481) × R
    0.000274900000000078 × 6371000     		dr = 1751.3879000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.71061660--0.71023310) × cos(-0.77139991) × R
    0.000383500000000092 × 0.716935439785453 × 6371000     		do = 1751.67294591626m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.71061660--0.71023310) × cos(-0.77167481) × R
    0.000383500000000092 × 0.716743769031627 × 6371000     		du = 1751.20464088436m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77139991)-sin(-0.77167481))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.716935439785453-0.716743769031627)×R²
    abs(-0.71023310--0.71061660)×0.00019167075382609×R²
    0.000383500000000092×0.00019167075382609×6371000²
    0.000383500000000092×0.00019167075382609×40589641000000     		ar = 3067448.72967091m²