Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63389 / 76963
↖ ↑ ↗
← S 29.923994°
W  5.896911°		 ← 264.65 m → S 29.923994°
W  5.894165°		 →
↑
264.65 m
↓
↑
264.65 m
↓
S 29.926374°
W  5.896911°		 ← 264.65 m →
70 040 m²		 S 29.926374°
W  5.894165°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63389 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76963 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.483623504638672 y=0.587184906005859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.483623504638672 × 217)
    floor (0.483623504638672 × 131072)
    floor (63389.5)     		tx = 63389
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587184906005859 × 217)
    floor (0.587184906005859 × 131072)
    floor (76963.5)     		ty = 76963
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63389 / 76963 ti = "17/63389/76963"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63389/76963.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63389 ÷ 217
    63389 ÷ 131072     		x = 0.483619689941406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76963 ÷ 217
    76963 ÷ 131072     		y = 0.587181091308594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.483619689941406 × 2 - 1) × π
    -0.0327606201171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.10292052
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.587181091308594 × 2 - 1) × π
    -0.174362182617188 × 3.1415926535     		Φ = -0.547774951958382
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10292052} λ = -0.10292052}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.547774951958382))-π/2
    2×atan(0.578234980678791)-π/2
    2×0.524262055021283-π/2
    1.04852411004257-1.57079632675     		φ = -0.52227222
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10292052} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.896911°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52227222 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.923994°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63389 KachelY 76963 -0.10292052 -0.52227222 -5.896911 -29.923994
    Oben rechts KachelX + 1 63390 KachelY 76963 -0.10287259 -0.52227222 -5.894165 -29.923994
    Unten links KachelX 63389 KachelY + 1 76964 -0.10292052 -0.52231376 -5.896911 -29.926374
    Unten rechts KachelX + 1 63390 KachelY + 1 76964 -0.10287259 -0.52231376 -5.894165 -29.926374
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52227222--0.52231376) × R
    4.15400000000066e-05 × 6371000     		dl = 264.651340000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52227222--0.52231376) × R
    4.15400000000066e-05 × 6371000     		dr = 264.651340000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10292052--0.10287259) × cos(-0.52227222) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.86668791939517 × 6371000     		do = 264.653582442994m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10292052--0.10287259) × cos(-0.52231376) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.866667196388104 × 6371000     		du = 264.647254423489m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52227222)-sin(-0.52231376))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.86668791939517-0.866667196388104)×R²
    abs(-0.10287259--0.10292052)×2.07230070655706e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.07230070655706e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.07230070655706e-05×40589641000000     		ar = 70040.0878799299m²