Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6338 / 6073
↖ ↑ ↗
← S 65.238307°
E 98.525390°		 ← 2 046.68 m → S 65.238307°
E 98.569336°		 →
↑
2 045.98 m
↓
↑
2 045.98 m
↓
S 65.256707°
E 98.525390°		 ← 2 045.26 m →
4 186 022 m²		 S 65.256707°
E 98.569336°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6338 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6073 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.77374267578125 y=0.74139404296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.77374267578125 × 213)
    floor (0.77374267578125 × 8192)
    floor (6338.5)     		tx = 6338
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.74139404296875 × 213)
    floor (0.74139404296875 × 8192)
    floor (6073.5)     		ty = 6073
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6338 / 6073 ti = "13/6338/6073"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6338/6073.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6338 ÷ 213
    6338 ÷ 8192     		x = 0.773681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6073 ÷ 213
    6073 ÷ 8192     		y = 0.7413330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.773681640625 × 2 - 1) × π
    0.54736328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.71959246
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7413330078125 × 2 - 1) × π
    -0.482666015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.51634000878162
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71959246} λ = 1.71959246}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51634000878162))-π/2
    2×atan(0.21951383720805)-π/2
    2×0.216086538894847-π/2
    0.432173077789695-1.57079632675     		φ = -1.13862325
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71959246} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.525390°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13862325 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.238307°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6338 KachelY 6073 1.71959246 -1.13862325 98.525390 -65.238307
    Oben rechts KachelX + 1 6339 KachelY 6073 1.72035945 -1.13862325 98.569336 -65.238307
    Unten links KachelX 6338 KachelY + 1 6074 1.71959246 -1.13894439 98.525390 -65.256707
    Unten rechts KachelX + 1 6339 KachelY + 1 6074 1.72035945 -1.13894439 98.569336 -65.256707
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13862325--1.13894439) × R
    0.000321140000000053 × 6371000     		dl = 2045.98294000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13862325--1.13894439) × R
    0.000321140000000053 × 6371000     		dr = 2045.98294000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71959246-1.72035945) × cos(-1.13862325) × R
    0.000766989999999801 × 0.41884506896623 × 6371000     		do = 2046.68361905254m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71959246-1.72035945) × cos(-1.13894439) × R
    0.000766989999999801 × 0.418553433719698 × 6371000     		du = 2045.25854537723m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13862325)-sin(-1.13894439))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41884506896623-0.418553433719698)×R²
    abs(1.72035945-1.71959246)×0.000291635246532307×R²
    0.000766989999999801×0.000291635246532307×6371000²
    0.000766989999999801×0.000291635246532307×40589641000000     		ar = 4186021.96591939m²