Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63370 / 39034
↖ ↑ ↗
← N 58.639794°
W  5.949096°		 ← 158.92 m → N 58.639794°
W  5.946350°		 →
↑
158.96 m
↓
↑
158.96 m
↓
N 58.638365°
W  5.949096°		 ← 158.92 m →
25 261 m²		 N 58.638365°
W  5.946350°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63370 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39034 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.483478546142578 y=0.297809600830078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.483478546142578 × 217)
    floor (0.483478546142578 × 131072)
    floor (63370.5)     		tx = 63370
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297809600830078 × 217)
    floor (0.297809600830078 × 131072)
    floor (39034.5)     		ty = 39034
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63370 / 39034 ti = "17/63370/39034"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63370/39034.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63370 ÷ 217
    63370 ÷ 131072     		x = 0.483474731445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39034 ÷ 217
    39034 ÷ 131072     		y = 0.297805786132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.483474731445312 × 2 - 1) × π
    -0.033050537109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.10383132
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.297805786132812 × 2 - 1) × π
    0.404388427734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.27042371373073
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10383132} λ = -0.10383132}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27042371373073))-π/2
    2×atan(3.56236166417029)-π/2
    2×1.29712690150534-π/2
    2.59425380301068-1.57079632675     		φ = 1.02345748
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10383132} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.949096°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02345748 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.639794°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63370 KachelY 39034 -0.10383132 1.02345748 -5.949096 58.639794
    Oben rechts KachelX + 1 63371 KachelY 39034 -0.10378339 1.02345748 -5.946350 58.639794
    Unten links KachelX 63370 KachelY + 1 39035 -0.10383132 1.02343253 -5.949096 58.638365
    Unten rechts KachelX + 1 63371 KachelY + 1 39035 -0.10378339 1.02343253 -5.946350 58.638365
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02345748-1.02343253) × R
    2.49500000000236e-05 × 6371000     		dl = 158.95645000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02345748-1.02343253) × R
    2.49500000000236e-05 × 6371000     		dr = 158.95645000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10383132--0.10378339) × cos(1.02345748) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.520416682478581 × 6371000     		do = 158.91549460753m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10383132--0.10378339) × cos(1.02343253) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.520437987432289 × 6371000     		du = 158.922000331443m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02345748)-sin(1.02343253))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.520416682478581-0.520437987432289)×R²
    abs(-0.10378339--0.10383132)×2.13049537082233e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.13049537082233e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.13049537082233e-05×40589641000000     		ar = 25261.1599375443m²