Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 6337 / 6596
↖ ↑ ↗
← N 33.063924°
W 40.759277°		 ← 2 047.57 m → N 33.063924°
W 40.737305°		 →
↑
2 047.83 m
↓
↑
2 047.83 m
↓
N 33.045508°
W 40.759277°		 ← 2 047.99 m →
4 193 508 m²		 N 33.045508°
W 40.737305°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6337 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6596 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.386810302734375 y=0.402618408203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.386810302734375 × 214)
    floor (0.386810302734375 × 16384)
    floor (6337.5)     		tx = 6337
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.402618408203125 × 214)
    floor (0.402618408203125 × 16384)
    floor (6596.5)     		ty = 6596
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6337 / 6596 ti = "14/6337/6596"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6337/6596.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6337 ÷ 214
    6337 ÷ 16384     		x = 0.38677978515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6596 ÷ 214
    6596 ÷ 16384     		y = 0.402587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38677978515625 × 2 - 1) × π
    -0.2264404296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.71138359
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.402587890625 × 2 - 1) × π
    0.19482421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.612058334348877
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.71138359} λ = -0.71138359}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.612058334348877))-π/2
    2×atan(1.84422352333776)-π/2
    2×1.07393533383363-π/2
    2.14787066766727-1.57079632675     		φ = 0.57707434
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.71138359} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -40.759277°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.57707434 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 33.063924°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6337 KachelY 6596 -0.71138359 0.57707434 -40.759277 33.063924
    Oben rechts KachelX + 1 6338 KachelY 6596 -0.71100010 0.57707434 -40.737305 33.063924
    Unten links KachelX 6337 KachelY + 1 6597 -0.71138359 0.57675291 -40.759277 33.045508
    Unten rechts KachelX + 1 6338 KachelY + 1 6597 -0.71100010 0.57675291 -40.737305 33.045508
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.57707434-0.57675291) × R
    0.000321430000000067 × 6371000     		dl = 2047.83053000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.57707434-0.57675291) × R
    0.000321430000000067 × 6371000     		dr = 2047.83053000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.71138359--0.71100010) × cos(0.57707434) × R
    0.000383489999999931 × 0.83806239949602 × 6371000     		do = 2047.5664493912m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.71138359--0.71100010) × cos(0.57675291) × R
    0.000383489999999931 × 0.83823772017589 × 6371000     		du = 2047.99479546925m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.57707434)-sin(0.57675291))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.83806239949602-0.83823772017589)×R²
    abs(-0.71100010--0.71138359)×0.000175320679870028×R²
    0.000383489999999931×0.000175320679870028×6371000²
    0.000383489999999931×0.000175320679870028×40589641000000     		ar = 4193507.71346136m²