Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 6337 / 6173
↖ ↑ ↗
← S 67.016009°
E 98.481445°		 ← 1 908.05 m → S 67.016009°
E 98.525390°		 →
↑
1 907.41 m
↓
↑
1 907.41 m
↓
S 67.033163°
E 98.481445°		 ← 1 906.70 m →
3 638 153 m²		 S 67.033163°
E 98.525390°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6337 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6173 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.77362060546875 y=0.75360107421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.77362060546875 × 213)
    floor (0.77362060546875 × 8192)
    floor (6337.5)     		tx = 6337
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.75360107421875 × 213)
    floor (0.75360107421875 × 8192)
    floor (6173.5)     		ty = 6173
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6337 / 6173 ti = "13/6337/6173"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6337/6173.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6337 ÷ 213
    6337 ÷ 8192     		x = 0.7735595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6173 ÷ 213
    6173 ÷ 8192     		y = 0.7535400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7735595703125 × 2 - 1) × π
    0.547119140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.71882547
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7535400390625 × 2 - 1) × π
    -0.507080078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.59303904817371
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71882547} λ = 1.71882547}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59303904817371))-π/2
    2×atan(0.203306812732548)-π/2
    2×0.200573156061092-π/2
    0.401146312122183-1.57079632675     		φ = -1.16965001
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71882547} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.481445°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16965001 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.016009°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6337 KachelY 6173 1.71882547 -1.16965001 98.481445 -67.016009
    Oben rechts KachelX + 1 6338 KachelY 6173 1.71959246 -1.16965001 98.525390 -67.016009
    Unten links KachelX 6337 KachelY + 1 6174 1.71882547 -1.16994940 98.481445 -67.033163
    Unten rechts KachelX + 1 6338 KachelY + 1 6174 1.71959246 -1.16994940 98.525390 -67.033163
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16965001--1.16994940) × R
    0.000299389999999899 × 6371000     		dl = 1907.41368999936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16965001--1.16994940) × R
    0.000299389999999899 × 6371000     		dr = 1907.41368999936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71882547-1.71959246) × cos(-1.16965001) × R
    0.000766990000000023 × 0.390473913907928 × 6371000     		do = 1908.04816023118m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71882547-1.71959246) × cos(-1.16994940) × R
    0.000766990000000023 × 0.390198273788991 × 6371000     		du = 1906.70124663955m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16965001)-sin(-1.16994940))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.390473913907928-0.390198273788991)×R²
    abs(1.71959246-1.71882547)×0.000275640118936549×R²
    0.000766990000000023×0.000275640118936549×6371000²
    0.000766990000000023×0.000275640118936549×40589641000000     		ar = 3638152.64846526m²