Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63358 / 38999
↖ ↑ ↗
← N 58.689786°
W  5.982056°		 ← 158.72 m → N 58.689786°
W  5.979309°		 →
↑
158.70 m
↓
↑
158.70 m
↓
N 58.688359°
W  5.982056°		 ← 158.73 m →
25 190 m²		 N 58.688359°
W  5.979309°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63358 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38999 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.483386993408203 y=0.297542572021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.483386993408203 × 217)
    floor (0.483386993408203 × 131072)
    floor (63358.5)     		tx = 63358
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297542572021484 × 217)
    floor (0.297542572021484 × 131072)
    floor (38999.5)     		ty = 38999
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63358 / 38999 ti = "17/63358/38999"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63358/38999.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63358 ÷ 217
    63358 ÷ 131072     		x = 0.483383178710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38999 ÷ 217
    38999 ÷ 131072     		y = 0.297538757324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.483383178710938 × 2 - 1) × π
    -0.033233642578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.10440657
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.297538757324219 × 2 - 1) × π
    0.404922485351562 × 3.1415926535     		Φ = 1.27210150521743
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10440657} λ = -0.10440657}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27210150521743))-π/2
    2×atan(3.56834358104434)-π/2
    2×1.29756316420376-π/2
    2.59512632840751-1.57079632675     		φ = 1.02433000
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10440657} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.982056°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02433000 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.689786°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63358 KachelY 38999 -0.10440657 1.02433000 -5.982056 58.689786
    Oben rechts KachelX + 1 63359 KachelY 38999 -0.10435863 1.02433000 -5.979309 58.689786
    Unten links KachelX 63358 KachelY + 1 39000 -0.10440657 1.02430509 -5.982056 58.688359
    Unten rechts KachelX + 1 63359 KachelY + 1 39000 -0.10435863 1.02430509 -5.979309 58.688359
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02433000-1.02430509) × R
    2.49100000000446e-05 × 6371000     		dl = 158.701610000284m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02433000-1.02430509) × R
    2.49100000000446e-05 × 6371000     		dr = 158.701610000284m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10440657--0.10435863) × cos(1.02433000) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.519671428785732 × 6371000     		do = 158.721030693773m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10440657--0.10435863) × cos(1.02430509) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.519692710886577 × 6371000     		du = 158.727530795173m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02433000)-sin(1.02430509))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.519671428785732-0.519692710886577)×R²
    abs(-0.10435863--0.10440657)×2.12821008447328e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.12821008447328e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.12821008447328e-05×40589641000000     		ar = 25189.798901629m²