Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63357 / 39049
↖ ↑ ↗
← N 58.618347°
W  5.984802°		 ← 159.01 m → N 58.618347°
W  5.982056°		 →
↑
159.02 m
↓
↑
159.02 m
↓
N 58.616916°
W  5.984802°		 ← 159.02 m →
25 287 m²		 N 58.616916°
W  5.982056°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63357 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39049 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.483379364013672 y=0.297924041748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.483379364013672 × 217)
    floor (0.483379364013672 × 131072)
    floor (63357.5)     		tx = 63357
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297924041748047 × 217)
    floor (0.297924041748047 × 131072)
    floor (39049.5)     		ty = 39049
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63357 / 39049 ti = "17/63357/39049"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63357/39049.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63357 ÷ 217
    63357 ÷ 131072     		x = 0.483375549316406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39049 ÷ 217
    39049 ÷ 131072     		y = 0.297920227050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.483375549316406 × 2 - 1) × π
    -0.0332489013671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.10445450
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.297920227050781 × 2 - 1) × π
    0.404159545898438 × 3.1415926535     		Φ = 1.26970466023643
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10445450} λ = -0.10445450}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26970466023643))-π/2
    2×atan(3.55980105628506)-π/2
    2×1.29693974033812-π/2
    2.59387948067623-1.57079632675     		φ = 1.02308315
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10445450} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.984802°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02308315 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.618347°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63357 KachelY 39049 -0.10445450 1.02308315 -5.984802 58.618347
    Oben rechts KachelX + 1 63358 KachelY 39049 -0.10440657 1.02308315 -5.982056 58.618347
    Unten links KachelX 63357 KachelY + 1 39050 -0.10445450 1.02305819 -5.984802 58.616916
    Unten rechts KachelX + 1 63358 KachelY + 1 39050 -0.10440657 1.02305819 -5.982056 58.616916
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02308315-1.02305819) × R
    2.49599999999628e-05 × 6371000     		dl = 159.020159999763m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02308315-1.02305819) × R
    2.49599999999628e-05 × 6371000     		dr = 159.020159999763m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10445450--0.10440657) × cos(1.02308315) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.520736291058314 × 6371000     		do = 159.013090932243m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10445450--0.10440657) × cos(1.02305819) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.520757599687027 × 6371000     		du = 159.019597778363m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02308315)-sin(1.02305819))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.520736291058314-0.520757599687027)×R²
    abs(-0.10440657--0.10445450)×2.13086287130793e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.13086287130793e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.13086287130793e-05×40589641000000     		ar = 25286.8045233338m²