Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63355 / 76665
↖ ↑ ↗
← S 29.212111°
W  5.990296°		 ← 266.58 m → S 29.212111°
W  5.987549°		 →
↑
266.56 m
↓
↑
266.56 m
↓
S 29.214508°
W  5.990296°		 ← 266.58 m →
71 060 m²		 S 29.214508°
W  5.987549°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63355 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76665 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.483364105224609 y=0.584911346435547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.483364105224609 × 217)
    floor (0.483364105224609 × 131072)
    floor (63355.5)     		tx = 63355
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584911346435547 × 217)
    floor (0.584911346435547 × 131072)
    floor (76665.5)     		ty = 76665
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63355 / 76665 ti = "17/63355/76665"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63355/76665.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63355 ÷ 217
    63355 ÷ 131072     		x = 0.483360290527344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76665 ÷ 217
    76665 ÷ 131072     		y = 0.584907531738281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.483360290527344 × 2 - 1) × π
    -0.0332794189453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.10455038
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584907531738281 × 2 - 1) × π
    -0.169815063476562 × 3.1415926535     		Φ = -0.533489755871605
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10455038} λ = -0.10455038}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.533489755871605))-π/2
    2×atan(0.586554461995967)-π/2
    2×0.530474408365076-π/2
    1.06094881673015-1.57079632675     		φ = -0.50984751
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10455038} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.990296°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50984751 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.212111°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63355 KachelY 76665 -0.10455038 -0.50984751 -5.990296 -29.212111
    Oben rechts KachelX + 1 63356 KachelY 76665 -0.10450244 -0.50984751 -5.987549 -29.212111
    Unten links KachelX 63355 KachelY + 1 76666 -0.10455038 -0.50988935 -5.990296 -29.214508
    Unten rechts KachelX + 1 63356 KachelY + 1 76666 -0.10450244 -0.50988935 -5.987549 -29.214508
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50984751--0.50988935) × R
    4.18400000000707e-05 × 6371000     		dl = 266.56264000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50984751--0.50988935) × R
    4.18400000000707e-05 × 6371000     		dr = 266.56264000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10455038--0.10450244) × cos(-0.50984751) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.872818939646789 × 6371000     		do = 266.581370527615m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10455038--0.10450244) × cos(-0.50988935) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.872798519115319 × 6371000     		du = 266.57513357168m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50984751)-sin(-0.50988935))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.872818939646789-0.872798519115319)×R²
    abs(-0.10450244--0.10455038)×2.04205314698891e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.04205314698891e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.04205314698891e-05×40589641000000     		ar = 71059.8026434748m²