Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 63352 / 38984
↖ ↑ ↗
← N 58.711189°
W  5.998535°		 ← 158.62 m → N 58.711189°
W  5.995788°		 →
↑
158.64 m
↓
↑
158.64 m
↓
N 58.709763°
W  5.998535°		 ← 158.63 m →
25 164 m²		 N 58.709763°
W  5.995788°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63352 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38984 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.483341217041016 y=0.297428131103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.483341217041016 × 217)
    floor (0.483341217041016 × 131072)
    floor (63352.5)     		tx = 63352
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297428131103516 × 217)
    floor (0.297428131103516 × 131072)
    floor (38984.5)     		ty = 38984
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63352 / 38984 ti = "17/63352/38984"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63352/38984.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63352 ÷ 217
    63352 ÷ 131072     		x = 0.48333740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38984 ÷ 217
    38984 ÷ 131072     		y = 0.29742431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48333740234375 × 2 - 1) × π
    -0.0333251953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.10469419
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29742431640625 × 2 - 1) × π
    0.4051513671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.27282055871173
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10469419} λ = -0.10469419}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27282055871173))-π/2
    2×atan(3.57091033367079)-π/2
    2×1.29774994259917-π/2
    2.59549988519833-1.57079632675     		φ = 1.02470356
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10469419} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.998535°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02470356 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.711189°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63352 KachelY 38984 -0.10469419 1.02470356 -5.998535 58.711189
    Oben rechts KachelX + 1 63353 KachelY 38984 -0.10464625 1.02470356 -5.995788 58.711189
    Unten links KachelX 63352 KachelY + 1 38985 -0.10469419 1.02467866 -5.998535 58.709763
    Unten rechts KachelX + 1 63353 KachelY + 1 38985 -0.10464625 1.02467866 -5.995788 58.709763
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02470356-1.02467866) × R
    2.49000000001054e-05 × 6371000     		dl = 158.637900000671m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02470356-1.02467866) × R
    2.49000000001054e-05 × 6371000     		dr = 158.637900000671m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10469419--0.10464625) × cos(1.02470356) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.519352235495645 × 6371000     		do = 158.623540846945m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10469419--0.10464625) × cos(1.02467866) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.51937351388537 × 6371000     		du = 158.630039814873m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02470356)-sin(1.02467866))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.519352235495645-0.51937351388537)×R²
    abs(-0.10464625--0.10469419)×2.127838972521e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.127838972521e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.127838972521e-05×40589641000000     		ar = 25164.2209032342m²