Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63348 / 76782
↖ ↑ ↗
← S 29.492206°
W  6.009522°		 ← 265.85 m → S 29.492206°
W  6.006775°		 →
↑
265.86 m
↓
↑
265.86 m
↓
S 29.494597°
W  6.009522°		 ← 265.84 m →
70 678 m²		 S 29.494597°
W  6.006775°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63348 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76782 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.483310699462891 y=0.585803985595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.483310699462891 × 217)
    floor (0.483310699462891 × 131072)
    floor (63348.5)     		tx = 63348
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585803985595703 × 217)
    floor (0.585803985595703 × 131072)
    floor (76782.5)     		ty = 76782
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63348 / 76782 ti = "17/63348/76782"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63348/76782.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63348 ÷ 217
    63348 ÷ 131072     		x = 0.483306884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76782 ÷ 217
    76782 ÷ 131072     		y = 0.585800170898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.483306884765625 × 2 - 1) × π
    -0.03338623046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.10488594
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.585800170898438 × 2 - 1) × π
    -0.171600341796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.539098373127151
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10488594} λ = -0.10488594}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.539098373127151))-π/2
    2×atan(0.583273910796705)-π/2
    2×0.528030111293835-π/2
    1.05606022258767-1.57079632675     		φ = -0.51473610
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10488594} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.009522°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51473610 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.492206°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63348 KachelY 76782 -0.10488594 -0.51473610 -6.009522 -29.492206
    Oben rechts KachelX + 1 63349 KachelY 76782 -0.10483800 -0.51473610 -6.006775 -29.492206
    Unten links KachelX 63348 KachelY + 1 76783 -0.10488594 -0.51477783 -6.009522 -29.494597
    Unten rechts KachelX + 1 63349 KachelY + 1 76783 -0.10483800 -0.51477783 -6.006775 -29.494597
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51473610--0.51477783) × R
    4.17299999999621e-05 × 6371000     		dl = 265.861829999758m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51473610--0.51477783) × R
    4.17299999999621e-05 × 6371000     		dr = 265.861829999758m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10488594--0.10483800) × cos(-0.51473610) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.870422671938228 × 6371000     		do = 265.84948868949m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10488594--0.10483800) × cos(-0.51477783) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.870402127285965 × 6371000     		du = 265.84321382387m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51473610)-sin(-0.51477783))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.870422671938228-0.870402127285965)×R²
    abs(-0.10483800--0.10488594)×2.05446522630881e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.05446522630881e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.05446522630881e-05×40589641000000     		ar = 70678.3974541368m²