Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63347 / 76785
↖ ↑ ↗
← S 29.499378°
W  6.012268°		 ← 265.78 m → S 29.499378°
W  6.009522°		 →
↑
265.80 m
↓
↑
265.80 m
↓
S 29.501769°
W  6.012268°		 ← 265.77 m →
70 642 m²		 S 29.501769°
W  6.009522°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63347 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76785 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.483303070068359 y=0.585826873779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.483303070068359 × 217)
    floor (0.483303070068359 × 131072)
    floor (63347.5)     		tx = 63347
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585826873779297 × 217)
    floor (0.585826873779297 × 131072)
    floor (76785.5)     		ty = 76785
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63347 / 76785 ti = "17/63347/76785"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63347/76785.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63347 ÷ 217
    63347 ÷ 131072     		x = 0.483299255371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76785 ÷ 217
    76785 ÷ 131072     		y = 0.585823059082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.483299255371094 × 2 - 1) × π
    -0.0334014892578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.10493387
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.585823059082031 × 2 - 1) × π
    -0.171646118164062 × 3.1415926535     		Φ = -0.539242183826012
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10493387} λ = -0.10493387}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.539242183826012))-π/2
    2×atan(0.583190035799172)-π/2
    2×0.527967525463295-π/2
    1.05593505092659-1.57079632675     		φ = -0.51486128
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10493387} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.012268°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51486128 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.499378°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63347 KachelY 76785 -0.10493387 -0.51486128 -6.012268 -29.499378
    Oben rechts KachelX + 1 63348 KachelY 76785 -0.10488594 -0.51486128 -6.009522 -29.499378
    Unten links KachelX 63347 KachelY + 1 76786 -0.10493387 -0.51490300 -6.012268 -29.501769
    Unten rechts KachelX + 1 63348 KachelY + 1 76786 -0.10488594 -0.51490300 -6.009522 -29.501769
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51486128--0.51490300) × R
    4.17200000000228e-05 × 6371000     		dl = 265.798120000146m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51486128--0.51490300) × R
    4.17200000000228e-05 × 6371000     		dr = 265.798120000146m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10493387--0.10488594) × cos(-0.51486128) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.870361038358479 × 6371000     		do = 265.775213506062m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10493387--0.10488594) × cos(-0.51490300) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.870340494084055 × 6371000     		du = 265.768940064719m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51486128)-sin(-0.51490300))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.870361038358479-0.870340494084055)×R²
    abs(-0.10488594--0.10493387)×2.05442744245499e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.05442744245499e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.05442744245499e-05×40589641000000     		ar = 70641.7183683774m²